2D 射影平面
直线的齐次表示:
平面上的一条直线的方程ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0可以用矢量(a,b,c)T(a,b,c)^T(a,b,c)T表示。要注意的是对任何非零的k矢量(a,b,c)T(a,b,c)^T(a,b,c)T与k(a,b,c)Tk(a,b,c)^Tk(a,b,c)T表示同一直线。
点的齐次表示:
一个点的任何齐次矢量的表示形式为x=(x1,x2,x3)Tx=(x_1,x_2,x_3)^Tx=(x1,x2,x3)T,其非齐次坐标x=(x1/x3,x2/x3)Tx=(x_1/x_3,x_2/x_3)^Tx=(x1/x3,x2/x3)T。
结论1:
点x在直线l上的充要条件是xTl=0x^T l=0xTl=0。注意有xTl=lTx=x∙1=0x^T l=l^T x=x∙1=0xTl=lTx=x∙1=0
结论2:
两直线 l和 l’的交点是点x=l×l′x=l×l'x=l×l′
补充a和b两向量的叉乘:
c=a×b=(a.y∗b.z−b.y∗a.z,b.x∗a.z−a.x∗b.z,a.x∗b.y−b.x∗a.y)c = a×b =(a.y*b.z-b.y*a.z , b.x*a.z-a.x*b.z , a.x*b.y-b.x*a.y)c=a×b=(a.y∗b.z−b.y∗a.z,b.x∗a.z−a.x∗b.z,a.x∗b.y−b.x∗a.y)
结论3:
过两点x和x’的直线是l=x×x′l=x×x'l=x×x′
平行线的交点:
两平行直线ax+by+c=0ax+by+c=0ax+by+c=0和ax+by+c′=0ax+by+c'=0ax+by+c′=0由结论2可得交点(b,−a,0)T(b,-a,0)^T(b,−a,0)T。
理想点和无穷远线:
当齐次矢量x=(x1,x2,x3)Tx=(x_1,x_2,x_3)^Tx=(x1,x2,x3)T中x3=0x_3=0x3=0时的点被称为理想点,或无穷远点。所有理想点集合在一条直线上,称无穷远线,用I∞=(0,0,1)TI_∞=(0,0,1)^TI∞=(0,0,1)T表示。
射影平面的模型:
IP2IP^2IP2的点和线分别为中过原点的射线和平面x1x2x_1 x_2x1x2平面上的射线表示理想点,而x1x2x_1 x_2x1x2平面表示I∞I_∞I∞。
图1射影平面的模型图1射影平面的模型图1射影平面的模型
结论4 (对偶原理):
2维射影几何中的任何定理都有一个对应的对偶定理,它可以通过互换原定理中点和线的作用而导出。
二次曲线与对偶二次曲线:
在欧氏几何中,二次曲线有三种主要类型 : 双曲
线,椭圆和抛物线。
在非齐欢坐标中,二次曲线的方程是
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0
通过替代x→x1⁄x3,y→x2⁄x3x→x_1⁄x_3 , y→x_2⁄x_3x→x1⁄x3,y→x2⁄x3,得到:
ax12+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx32=0ax_1^2+bx_1 x_2+cx_2^2+dx_1 x_3+ex_2 x_3+fx_3^2=0ax12+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx32=0
表示成矩阵形式为
xTCx=0x^T Cx=0xTCx=0
其中:
C=[ab/2d/2b/2ce/2d/2e/2f]C=\begin{bmatrix}
a &b/2 &d/2 \\
b/2& c & e/2\\
d/2& e/2&f
\end{bmatrix}C=⎣⎡ab/2d/2b/2ce/2d/2e/2f⎦⎤
结论5:
过(非退化)二次曲线CCC上点xxx的切线lll由l=Cxl= Cxl=Cx确定。
对偶二次曲线:
上面定义的二次曲线CCC更确切地应称为点二次曲线,因为它定义的是点的方程。一个由直线的方程定义的二次曲线也由 一个 3x3 矩阵表示,我们把它记为C∗C^*C∗。二次曲线CCC的切线lll满足lTC∗l=0l^T C ^* l=0lTC∗l=0。 其中 $C ^* 表示表示表示 C $的伴随矩阵。
图2点二次曲线及其对偶二次曲线图2点二次曲线及其对偶二次曲线图2点二次曲线及其对偶二次曲线
退化二次曲线:
非满秩矩阵CCC所定义的二次曲线称作退化二次曲线。退化的点二次曲线包含两条线(秩 2) 或一条重线(秩 1) 。