Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记(9)—无穷远平面&绝对二次曲线

本文探讨了射影几何中的无穷远平面及其在确定平行关系中的作用,并介绍了绝对二次曲线的概念及其在度量性质测定中的应用。

            无穷远平面&绝对二次曲线

1.无穷远平面

  在3维空间的射影几何中,与l∞l_{\infty }l和虚圆点对应的几何实体是无穷远平面π∞\pi _{\infty }π和绝对二次曲线Ω∞\Omega _{\infty }Ω
  在3维仿射空间中,无穷远平面的标准位置是π∞=(0,0,0,1)T\pi _{\infty }=(0,0,0,1)^Tπ=(0,0,0,1)Tπ∞\pi _{\infty }π包含所有方向D=(X1,X2,X3,0)TD=(X_1,X_2,X_3,0)^TD=(X1X2X30)T并且可以用来识别仿射性质。

  • 两张平面相平行的充要条件是它们的交线在π∞\pi _{\infty }π上。
  • 如果一条直线与另一条直线或一张平面相交在π∞\pi _{\infty }π上,则它们相平行。

结论 1  在射影变换HHH下,无穷远平面π∞\pi _{\infty }π是不动平面的充要条件是HHH是一个仿射变换。

  • 一般地说,在仿射变换下平面π∞\pi _{\infty }π是整个集合不动,而不是点点不动。
  • 仅有π∞\pi _{\infty }π在任何仿射变换下保持不动。

###2.绝对二次曲线

  绝对二次曲线Ω∞\Omega _{\infty }Ω是在π∞\pi _{\infty }π上一条(点)二次曲线。在度量坐标系中π∞=(0,0,0,1)T\pi _{\infty }=(0,0,0,1)^Tπ=0,0,0,1T,而在Ω∞\Omega _{\infty }Ω上的点满足:
X12+X22+X32X42}=0\left.\begin{matrix} X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\\ X_{4}^{2} \end{matrix}\right\}=0X12+X22+X32X42}=0

结论 2  在射影变换HHH下, 绝对二次曲线Ω∞\Omega _{\infty }Ω是不动二次曲线的充要条件是HHH是相似变换。

  • Ω∞\Omega _{\infty }Ω在一般相似变换下是集合不动,而不是点点不动的。
  • 所有的圆交Ω∞\Omega _{\infty }Ω 于两点,这两点是虚圆点。
  • 所有球面交π∞\pi _{\infty }πΩ∞\Omega _{\infty }Ω

度量性质

  一旦Ω∞\Omega _{\infty }Ω在 3 维射影空间被辨认,那么诸如夹角和相对长度等度最性质可以被测定。
  设两条直线的方向为 d1d_1d1d2d_2d2(3 维矢量),则:
cosθ=d1TΩ∞d2(d1TΩ∞d1)(d2TΩ∞d2)cos\theta =\frac{d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{2}}{\sqrt{(d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{1})(d_{2}^{T}\Omega _{\infty }d_{2})}}cosθ=(d1TΩd1)(d2TΩd2)d1TΩd2

正交与配极

  如果d1TΩ∞d2=0d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{2}=0d1TΩd2=0,则d1d_1d1d2d_2d2相垂直。因而垂直性可由关于Ω∞\Omega _{\infty }Ω共轭性来表征。

###3.绝对对偶二次曲面

  绝对二次曲线Ω∞\Omega _{\infty }Ω的对偶是 3 维空间中一种退化的对偶二次曲面,称为绝对对偶二次曲面并记为Q∞∗Q _{\infty }^*Q。从几何上说,Q∞∗Q _{\infty }^*QΩ∞\Omega _{\infty }Ω的切平面组成,它被称为边二次曲面。它在 3 维度量空间的标准形式是:
Q∞∗=[I00T0]Q _{\infty }^*=\begin{bmatrix} I & 0\\ 0^{T}&0 \end{bmatrix}Q=[I0T00]

  绝对对偶二次曲面Q∞∗Q _{\infty }^*Q是退化的二次曲面 , 有 8 个自由度。

结论 3 在射影变换HHH下,绝对二次曲面Q∞∗Q _{\infty }^*Q不动的充要条件是HHH是相似变换。

结论 4  无穷远平面π∞\pi _{\infty }πQ∞∗Q _{\infty }^*Q的零矢量。

结论 5  两张平面π1\pi_1π1π2\pi_2π2之间的夹角由下式给出:
cosθ=π1TQ∞∗π2(π1TQ∞∗π1)(π2TQ∞∗π2)cos\theta =\frac{\pi_{1}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{2}}{\sqrt{(\pi_{1}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{1})(\pi_{2}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{2})}}cosθ=(π1TQπ1)(π2TQπ2)π1TQπ2

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