Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（9）—无穷远平面&绝对二次曲线

最新推荐文章于 2023-09-13 05:41:56 发布

原创最新推荐文章于 2023-09-13 05:41:56 发布 · 4.4k 阅读

14 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#多视图几何 #计算机视觉 #SLAM

多视图几何同时被 2 个专栏收录

27 篇文章

订阅专栏

Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记

27 篇文章

订阅专栏

本文探讨了射影几何中的无穷远平面及其在确定平行关系中的作用，并介绍了绝对二次曲线的概念及其在度量性质测定中的应用。

无穷远平面&绝对二次曲线

1.无穷远平面

在3维空间的射影几何中，与 $l∞l_{\infty }$ 和虚圆点对应的几何实体是无穷远平面 $π∞\pi _{\infty }$ 和绝对二次曲线 $Ω∞\Omega _{\infty }$ 。
在3维仿射空间中,无穷远平面的标准位置是 $π∞=(0,0,0,1)T\pi _{\infty }=(0,0,0,1)^T$ ， $π∞\pi _{\infty }$ 包含所有方向 $D=(X_1，X_2，X_3，0)^T$ 并且可以用来识别仿射性质。

两张平面相平行的充要条件是它们的交线在 $π∞\pi _{\infty }$ 上。
如果一条直线与另一条直线或一张平面相交在 $π∞\pi _{\infty }$ 上，则它们相平行。

结论 1 在射影变换 $H$ 下，无穷远平面 $π∞\pi _{\infty }$ 是不动平面的充要条件是 $H$ 是一个仿射变换。

一般地说，在仿射变换下平面 $π∞\pi _{\infty }$ 是整个集合不动，而不是点点不动。
仅有 $π∞\pi _{\infty }$ 在任何仿射变换下保持不动。

###2.绝对二次曲线

绝对二次曲线 $Ω∞\Omega _{\infty }$ 是在 $π∞\pi _{\infty }$ 上一条(点)二次曲线。在度量坐标系中 $π∞=（0,0,0,1）T\pi _{\infty }=（0,0,0,1）^T$ ，而在 $Ω∞\Omega _{\infty }$ 上的点满足：
$X12+X22+X32X42}=0\left.\begin{matrix} X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\\ X_{4}^{2} \end{matrix}\right\}=0$

结论 2 在射影变换 $H$ 下，绝对二次曲线 $Ω∞\Omega _{\infty }$ 是不动二次曲线的充要条件是 $H$ 是相似变换。

$Ω∞\Omega _{\infty }$ 在一般相似变换下是集合不动，而不是点点不动的。
所有的圆交 $Ω∞\Omega _{\infty }$ 于两点，这两点是虚圆点。
所有球面交 $π∞\pi _{\infty }$ 于 $Ω∞\Omega _{\infty }$ 。

度量性质

一旦 $Ω∞\Omega _{\infty }$ 在 3 维射影空间被辨认，那么诸如夹角和相对长度等度最性质可以被测定。
设两条直线的方向为 $d_1$ 和 $d_2$ (3 维矢量)，则：
$cosθ=d1TΩ∞d2(d1TΩ∞d1)(d2TΩ∞d2)cos\theta =\frac{d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{2}}{\sqrt{(d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{1})(d_{2}^{T}\Omega _{\infty }d_{2})}}$

正交与配极

如果 $d1TΩ∞d2=0d_{1}^{T}\Omega _{\infty }d_{2}=0$ ，则 $d_1$ 和 $d_2$ 相垂直。因而垂直性可由关于 $Ω∞\Omega _{\infty }$ 的共轭性来表征。

###3.绝对对偶二次曲面

绝对二次曲线 $Ω∞\Omega _{\infty }$ 的对偶是 3 维空间中一种退化的对偶二次曲面，称为绝对对偶二次曲面并记为 $_{\infty }^*$ 。从几何上说， $_{\infty }^*$ 由 $Ω∞\Omega _{\infty }$ 的切平面组成，它被称为边二次曲面。它在 3 维度量空间的标准形式是：
$_{\infty }^*=\begin{bmatrix} I & 0\\ 0^{T}&0 \end{bmatrix}$

绝对对偶二次曲面 $_{\infty }^*$ 是退化的二次曲面，有 8 个自由度。

结论 3 在射影变换 $H$ 下，绝对二次曲面 $_{\infty }^*$ 不动的充要条件是 $H$ 是相似变换。

结论 4 无穷远平面 $π∞\pi _{\infty }$ 是 $_{\infty }^*$ 的零矢量。

结论 5 两张平面 $π1\pi_1$ 和 $π2\pi_2$ 之间的夹角由下式给出：
$cosθ=π1TQ∞∗π2(π1TQ∞∗π1)(π2TQ∞∗π2)cos\theta =\frac{\pi_{1}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{2}}{\sqrt{(\pi_{1}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{1})(\pi_{2}^{T}Q _{\infty }^*\pi_{2})}}$