本文详细讲解了矩母函数ψX(t)和特征函数φX(u)的概念，通过泊松分布的特例展示它们的性质及计算方法，并证明了矩母函数的推导过程。重点在于它们与分布函数的一一对应关系，以及在实际问题中的应用。
矩母函数与特征函数
矩
母
函
数
与
特
征
函
数
与
分
布
函
数
一
一
对
应
矩母函数与特征函数与分布函数一一对应
矩母函数与特征函数与分布函数一一对应
矩母函数
ψ
X
(
t
)
=
E
(
e
u
X
)
性
质
：
ψ
X
(
u
)
′
=
E
(
X
e
u
X
)
,
当
t
=
0
,
则
为
一
阶
矩
（
n
次
导
数
对
应
n
阶
矩
）
ψ_X(t)=E(e^{uX})\\ 性质：ψ_X(u)'=E(Xe^{uX}),当t=0,则为一阶矩（n次导数对应n阶矩）
ψX(t)=E(euX)性质：ψX(u)′=E(XeuX),当t=0,则为一阶矩（n次导数对应n阶矩）
特征函数
φ
X
(
u
)
=
E
(
e
i
u
X
)
φ_X(u)=E(e^{iuX})
φX(u)=E(eiuX)
泊松分布的矩母函数与特征函数
ψ X ( u ) = E ( e u X ) = e λ ( e u − 1 ) φ X ( u ) = E ( e i u X ) = e λ ( e ( i u ) − 1 ) ψ_X(u)=E(e^{uX})=e^{\lambda (e^u-1)}\\ φ_X(u)=E(e^{iuX})=e^{\lambda (e^{(iu)}-1)} ψX(u)=E(euX)=eλ(eu−1)φX(u)=E(eiuX)=eλ(e(iu)−1)
证明：
f ( u ) = E ( e u X ) = ∑ x = 0 ∞ e u k ( λ ) k k ! e − λ = e − λ ∑ x = 0 ∞ e u k ( λ ) k k ! = e − λ ∑ x = 0 ∞ ( e u ) k ( λ ) k k ! = e − λ e e u λ = e λ ( e u − 1 ) f(u)=E(e^{uX})=\sum_{x=0}^{\infty} e^{uk} \frac{(\lambda )^k}{k!}e^{-\lambda }\\ =e^{-\lambda }\sum_{x=0}^{\infty} e^{uk} \frac{(\lambda )^k}{k!}\\ =e^{-\lambda }\sum_{x=0}^{\infty} (e^{u})^{k} \frac{(\lambda )^k}{k!}\\ =e^{-\lambda }e^{e^u\lambda}=e^{\lambda (e^u-1)}\\ f(u)=E(euX)=x=0∑∞eukk!(λ)ke−λ=e−λx=0∑∞eukk!(λ)k=e−λx=0∑∞(eu)kk!(λ)k=e−λeeuλ=eλ(eu−1)
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