泊松分布的矩母函数与特征函数

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本文深入探讨了概率论中矩母函数与特征函数的概念及其重要性质。矩母函数ψ_X(t)不仅与分布函数一一对应，其导数与随机变量的矩相关；特征函数φ_X(t)同样揭示了分布信息，特别是在泊松分布的例子中，展示了如何计算其矩母函数与特征函数。这些工具在统计推断和随机过程研究中扮演着关键角色。

矩母函数与特征函数

矩母函数与特征函数与分布函数一一对应矩母函数与特征函数与分布函数一一对应矩母函数与特征函数与分布函数一一对应
矩母函数

ψX(t)=E(etX)性质：ψX(t)′=E(XetX),当t=0,则为一阶矩（n次导数对应n阶矩）ψ_X(t)=E(e^{tX})\\ 性质：ψ_X(t)'=E(Xe^{tX}),当t=0,则为一阶矩（n次导数对应n阶矩）ψX​(t)=E(etX)性质：ψX​(t)′=E(XetX),当t=0,则为一阶矩（n次导数对应n阶矩）
特征函数
φX(t)=E(eitX)φ_X(t)=E(e^{itX})φX​(t)=E(eitX)

泊松分布的矩母函数与特征函数

ψX(t)=E(etX)=eλ(et−1)φX(t)=E(eitX)=eλ(e(it)−1)ψ_X(t)=E(e^{tX})=e^{\lambda (e^t-1)}\\ φ_X(t)=E(e^{itX})=e^{\lambda (e^{(it)}-1)}ψX​(t)=E(etX)=eλ(et−1)φX​(t)=E(eitX)=eλ(e(it)−1)

矩母函数（Moment Generating Function）
一个搬运知识的笨小孩
02-27 3万+
矩母函数 如果能求出一个随机变量的矩母函数，那么我们就可以通过求导来轻松地找到任意一个矩，而矩可以让我们了解分布的函数图像形状（类似于泰勒级数近似函数图像） 所有的矩并不总是可以唯一确定概率分布 复分析中拉普拉斯公式和傅里叶反演公式，用来确定什么时候可以用矩唯一地确定概率密度函数 回顾矩 矩母函数 各个常见分布的矩母函数和特征函数 截图来源：Moment Generating Function 矩母函数的性质 性质一： 通过泰勒级数展开证明性质一 直接对 tkt^ktk 求导证明性质一
矩母函数-特征函数
m0_63981324的博客
03-03 1756
的定义是概率密度函数的幂次函数与自变量的乘积的期望值。矩母函数是一个用来描述随机变量分布特征的函数，它的定义形式为，其中X是随机变量，t是一个实数变量，通常用来表示生成随机变量的参数。通过计算矩母函数在t=0处的导数，可以获得随机变量的期望值。是什么：是一个概率生成函数，用于描述随机变量的概率分布怎么算：下图分别提供了离散和连续随机变量的矩母函数计算公式有什么用：对矩母函数求导可以获得随机变量的各阶矩，从而计算方差、偏度、峰度等统计量。
特征函数 和 矩母函数
04-01
非常好的 概率论中 关于特征函数 和 矩母函数的介绍；
泊松分布函数
10-27
泊松分布 【问题描述】 泊松分布是一种常用的离散型概率分布，数学期望为m的泊松分布的分布函数定义如下： P(m, k) = mk * e-m/k! (k = 0, 1, 2, 3, …) 对于给定的m和k (0<m<2000, 0<= k < 2500)，计算其概率，以科学格式输出，保留小数点后6位有效数字。 可以使用数学库函数，误差不超过0.000001。 【输入形式】 输入文件为当前目录下的poisson.in。 文件中包含两个数字，分别为m,k的值。 【输出形式】 输出文件为当前目录下的poisson.out。 文件中输出泊松分布的值，值以科学格式输出，保留小数点后6位有效数字。 【输入样例】 1 0 【输出样例】 3.678794e-01 【时间限制】 1s 【空间限制】 65536KB
泊松分布，正态分布，指数分布特征函数推导
犹有傲霜枝的博客
05-21 5万+
泊松分布特征函数推导 设XXX服从参数为λ\lambdaλ的泊松分布，则其特征函数为： g(t)=E(eitX)=∑x=0∞eitx⋅e−λ⋅λxx!=e−λ⋅∑x=0∞(λ⋅eit)xx!=e−λ⋅eλ⋅eit=eλ(eit−1) \begin{aligned} g(t) &amp;= E(e^{itX}) \\ &amp;= \sum_{x=0}^{\infty}e^{itx...
PPP泊松点过程特征函数分析
xinjie1023的专栏
10-14 1740
泊松分布， Pr(x=k)=exp(-lambda) lambda^k / k!。 泊松分布特征函数E(exp(itx)),其中x服从泊松分布, E(exp(itx)) = sum (k从0到无穷) exp(itk) exp(-lambda) lambda^k / k! = exp(-lambda) sum (k从0到无穷) [exp(it)]^k lambda^k / k! = exp(-lambda) sum (k从0到无穷) [ lambda exp(it) ] ^k / k! = exp(-lamb
Poisson分布的特征函数及期望与方差 - 随机过程
hnjzsyjyj的专栏
01-07 8561
【Poisson分布的特征函数及期望与方差】
泊松分布的分布函数_如何深刻理解泊松分布？
weixin_39630498的博客
12-11 3516
大多数学校的统计学悲剧在于它是多么愚蠢。老师们花费数小时来研究导数，方程式和定理，当您最终达到最佳效果时(将概念应用于实际数字)，就会出现一些无关紧要，没有想象力的示例，例如：掷骰子。遗憾的是，如果您跳过推导(您可能永远不需要)，而专注于使用这些想法来解决有趣的问题，那么统计数据就很有趣。在本文中，我们将介绍两个重要的概率概念：泊松过程和泊松分布。在仅强调相关理论之后，我们将通过一个真实...
矩生成函数（Moment Generating Function, MGF）
qq_58860480的博客
07-19 1495
2. **分布求和**：若 \(X\) 和 \(Y\) 是独立随机变量，则 \(X + Y\) 的矩生成函数为 \(M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t)\)，这有助于求解和分布问题。1. **存在性**：矩生成函数不一定对所有的 \(t\) 都存在。M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t} \quad \text{当} \, t < \lambda。其中 \(M_X^{(n)}(t)\) 表示 \(M_X(t)\) 的第 \(n\) 阶导数。
【推导过程】常用离散分布的数学期望、方差、特征函数
最新发布
ymzhu385的博客
10-16 2100
常用离散分布（二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布）的数学期望、方差、特征函数具体推导。
随机过程考试重点：条件期望、矩母函数与Markov链解析
对于离散型随机变量如二项分布和泊松分布，以及连续型随机变量如指数分布，其矩母函数有不同的形式。通过矩母函数，可以推导出各种分布的性质和特征。 随机过程的数字特征包括均值函数、自协方差函数和自相关函数。...
泊松分布（poisson distribution）
Zijie123pea的博客
01-11 2万+
泊松分布 泊松分布是常见到的离散概率分布。 泊松分布的函数为： P(X=k)=λkk!e−λ,k=0,1,2…P(X = k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2\ldotsP(X=k)=k!λk​e−λ,k=0,1,2… 对此函数求和： ∑k=0+∞λkk!e−λ=e−λ∑k=0+∞λkk!=1\displaystyle \sum^{+\infty}_{k=0}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\dis
统计机器学习-泊松分布
qq_43613793的博客
03-10 3193
泊松分布： 模型：假设单位时间内发生时间λ\lambdaλ次，求单位时间内事件发生x次的概率。 分布函数： p(x)=e−λλxx!p(x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}p(x)=x!e−λλx​ 矩母函数： Mx(t)=E(etx)=∑x=0∞etxe−λλxx!M_x(t)=E(e^{tx})=\sum_{x=0}^∞ \frac{e^{tx}e^{-\la...
泊松分布的分布函数_概率分布
weixin_39684495的博客
11-27 2383
正态分布概率密度函数表示 -> 表示一个特定范围的值的发生概率import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt normal = np.random.normal(100, 6, 100) plt.hist(normal, 10) plt.show() from scipy.stats import norm x = np.arange(...
常用的统计学分布总结
09-30 6954
1.伯努利分布（又称之为二点分布或者0-1分布） 伯努利分布（Bernoulli Distribution），是一种离散分布，又称为 “0-1 分布” 或 “两点分布”。例如抛硬币的正面或反面，物品有缺陷或没缺陷，病人康复或未康复，此类满足「只有两种可能，试验结果相互独立且对立」的随机变量通常称为伯努利随机变量。 对于伯努利随机变量 X，如果使用 1 表示成功，其概率为p(0<p&lt...
泊松分布的分布函数_泊松分布、指数分布与伽马分布
weixin_39865277的博客
12-11 8214
整理自：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E4%BD%88http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.htmlhttp://www.ruanyifeng.com/blog/2013/01/poisson_distribution.html一、...
泊松分布的分布函数_泊松分布与指数分布
weixin_39738251的博客
12-11 6156
泊松分布意义：如果某事件以固定强度，随机且独立地出现，那么该事件在单位时间内出现的次数可以看出是服从泊松分布定义：若X的概率分布率为根据泰勒展开式可得分布率之和为1指数分布意义：表示独立随机事件发生的时间间隔定义：若X的概率密度函数为3, 分布函数4, 性质：具有无记忆性...
泊松分布的分布函数_常见概率分布汇总
weixin_39996496的博客
12-03 9726
注：本篇内容均摘自《商务与经济统计学》，目的是方便个人查阅相关基本概念。随机变量是对实验结果的数值描述，分为离散型随机变量和连续型随机变量。下面列举常见的离散型概率分布和连续型概率分布。离散型概率分布1、柏松概率分布定义柏松分布是一种常见的离散型概率分布，它主要用来估计在特定时间段或空间中某事件发生的次数。泊松实验的性质：第一、在任意两个相等长度的区间上，事件发生的概率相等；第二、事件在某一区间上...
概率论总结（四）：矩母函数（含证明，超级简单明了！）
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qq_29700227的博客
05-18 6万+
目录： 定义 常见随机变量的矩母函数 - 泊松随机变量的矩母函数 - 二项随机变量的矩母函数 - 几何随机变量的矩母函数 - 指数随机变量的矩母函数 - 随机变量线性函数的矩母函 - 正态分布随机变量的矩母函数 - 均匀随机变量的矩母函数 从矩母函数到矩 矩母函数的可逆性 独立随机变量和 汇总 矩母函数（Moment Generating Function） 是对概率(分布列或者概率密度函数)的另一种表述。它并不是特别直观的, 但是在解决某些类型的数学计算时很方便。 定义： 随机变量是 X 时,矩
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