概率统计_随机变量的特征函数与母函数

本文详细解析了随机变量的特征函数和母函数的定义、性质及其应用。包括特征函数的积分表达式,离散与连续随机变量的特征函数公式,母函数的定义及其在计算随机变量矩的应用,以及它们在确定随机变量分布中的作用。

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符号

实数:ttt
复数:zzz
随机变量:XXX
分布函数:F(x)F(x)F(x)
密度函数:f(x)f(x)f(x)
特征函数:g(t)g(t)g(t)
母函数:P(s)P(s)P(s)

特征函数

定义

g(t)=E(eitX)=∫−∞∞eitXdF(x),−∞<t<∞g(t)=E(e^{itX})=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{itX}dF(x)},-\infty<t<\inftyg(t)=E(eitX)=eitXdF(x),<t<
例如对于离散型随机变量X:g(t)=∑keitXkpkg(t)=\sum_k{e^{itX_k}p_k}g(t)=keitXkpk
对于连续型随机变量X:g(t)=∫−∞∞eitXf(x)dxg(t)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{itX}f(x)dx}g(t)=eitXf(x)dx

性质
  1. g(0)=1,∣g∣≤1g(0)=1,|g|\leq1g(0)=1,g1,g(−t)g(-t)g(t)g(t)g(t)g(t)共轭。
  2. g(t)g(t)g(t)在实数域上一致连续。
  3. 只要E(Xn)E(X^n)E(Xn)存在,那么g(t)ng(t)ng(t)n阶可微,且g(n)(0)=ikE(Xn)g^{(n)}(0)=i^kE(X^n)g(n)(0)=ikE(Xn).
  4. g(t)g(t)g(t)是非负定的,即∑k,l=1ng(tk−tl)zkzl‾≥0\sum_{k,l=1}^n{g(t_k-t_l)z_k\overline{z_l}}\geq0k,l=1ng(tktl)zkzl0n2n^2n2项求和),其中t是任意实数,z是任意复数。
  5. 相互独立的随机变量X1,…,XnX_1,\dots,X_nX1,,Xn以及随机变量X=X1+⋯+XnX=X_1+\dots+X_nX=X1++Xn满足g(t)=g1(t)…gn(t)g(t)=g_1(t)\dots g_n(t)g(t)=g1(t)gn(t).
  6. 随机变量的特征函数可以唯一地确定分布函数。

其中第3点提供了一个较便捷的求n阶矩的方法,第5,6点可以用来求解较复杂情况下的分布函数。

母函数

定义

XXX是取非负整数值的随机变量,分布律为P(X=k)=pk,k=0,1,…P(X=k)=p_k,k=0,1,\dotsP(X=k)=pk,k=0,1,
此时称P(s)=E(sX)=∑kskpkP(s)=E(s^{X})=\sum_k{s^{k}p_k}P(s)=E(sX)=kskpkXXX的母函数。

性质
  1. 只要E(Xn)E(X^n)E(Xn)存在,即可通过母函数计算,如E(X)=P′(1)E(X)=P'(1)E(X)=P(1)E(X2)=P′′(1)+P′(1)E(X^2)=P''(1)+P'(1)E(X2)=P′′(1)+P(1).更高阶的结果也可以通过构造多项式不同阶导数项的系数来确定。
  2. 相互独立的随机变量X1,…,XnX_1,\dots,X_nX1,,Xn以及随机变量X=X1+⋯+XnX=X_1+\dots+X_nX=X1++Xn满足P(t)=P1(t)…Pn(t)P(t)=P_1(t)\dots P_n(t)P(t)=P1(t)Pn(t).
  3. 随机变量的母函数可以唯一地确定分布率。
  4. (随机变量均相互独立,取非负整数值)同分布的的随机变量X1,…,XnX_1,\dots,X_nX1,,Xn及与之独立的NNN满足
    Y=∑k=1NXkY=\sum_{k=1}^N{X_k}Y=k=1NXk(即求和的项数不一定)的母函数为H(s)=G(P(s))H(s)=G(P(s))H(s)=G(P(s)),其中G,P为N,X的母函数。

前三点和特征函数第3,5,6点对应,第4点提供了一种在随机变量个数不确定情况下的计算方法。

参考

随机过程第四版 刘次华 华中科大出版社

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