Master of Phi(极性函数+欧拉函数)

本文解析了HDU-6265 MasterofPhi问题,通过使用欧拉函数解决数学问题。代码中实现了快速幂运算,利用欧拉函数计算特定数值,并在循环中更新最终结果。

题目: Master of Phi

 思路:参考博客:HDU-6265 Master of Phi (数论)

欧拉函数内容:

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
LL a[60], b[60];
const LL mod  = 998244353;
LL q_pow(LL a, LL b)
{
    LL ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans*a)%mod;
        a = (a*a)%mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T, n;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin>>a[i]>>b[i];
        }
        LL mu = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            LL t = q_pow(a[i], b[i]-1);
            mu = (mu * t)%mod;
            t = (a[i]%mod + (a[i]*b[i])%mod-b[i]%mod+mod)%mod;
            mu = (mu * t)%mod;
        }
        cout<<mu<<endl;
    }
    return 0;
}

 

<think> 我们被要求提供欧拉函数和欧拉定理的详细介绍。根据用户提供的引用,我们将整理相关知识点。 欧拉函数: 定义:欧拉函数&phi;(n)表示在1~n之间与n互质的数的个数。例如,&phi;(1)=1,&phi;(4)=2(因为1,3与4互质)。 性质: 1. 积性函数:若m,n互质,则&phi;(m*n)=&phi;(m)*&phi;(n)。 2. 对于任意正整数n,若其分解质因数为n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pr^kr(其中p1,p2,...,pr为质数,k1,k2,...,kr为正整数),则有: &phi;(n) = n * (1-1/p1) * (1-1/p2) * ... * (1-1/pr) 欧拉定理(也称为欧拉-费马定理): 内容:若正整数a与n互质,则满足:a^&phi;(n) ≡ 1 (mod n) 特别地,当n为质数p时,&phi;(p)=p-1,则得到费马小定理:a^(p-1) ≡ 1 (mod p) (其中a不是p的倍数)。 计算欧拉函数的方法: 1. 直接计算(使用公式):对n进行质因数分解,然后套用公式。 2. 线性筛法求欧拉函数(类似于筛素数,可以在O(n)时间内求出1~n所有数的欧拉函数)。 我们根据引用[2]和[4]中的代码,描述线性筛法求欧拉函数的步骤: 初始化:phi[1]=1(情况1)。 遍历从2到n的整数i: 如果i是质数(没有被筛过),则phi[i]=i-1(情况2)。 然后遍历已经得到的质数prime[j](j从1到当前质数总数): 标记合数:i*prime[j]不是质数。 分两种情况: 情况3:若prime[j]是i的质因子(即i能被prime[j]整除),则: phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j]; 情况4:若prime[j]不是i的质因子(即i不能被prime[j]整除),则: phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1); 注意:情况3的推导: 设i的质因数分解中已经包含prime[j],那么i*prime[j]的质因数分解与i的质因数分解相比,只是prime[j]的指数增加了1。 根据欧拉函数公式:&phi;(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)...*(1-1/pr) 则&phi;(i)=i*(1-1/p1)*...*(1-1/pj)*...*(1-1/pr) 而&phi;(i*prime[j]) = i*prime[j]*(1-1/p1)*...*(1-1/pj)*...*(1-1/pr) = &phi;(i)*prime[j] 因为prime[j]是i的质因子,所以乘上prime[j]后,新的数并没有增加新的质因子。 情况4:当prime[j]不是i的质因子,那么i和prime[j]互质,所以利用积性函数的性质:&phi;(i*prime[j])=&phi;(i)*&phi;(prime[j])=&phi;(i)*(prime[j]-1) 此外,引用[3]提供了单个数的欧拉函数求法(直接计算): int phi(int n) { int res = n; for (int i=2; i<=n/i; i++) { if (n % i == 0) { res = res / i * (i-1); // 注意:先除后乘,避免溢出且保证整除 while (n % i == 0) n /= i; } } if (n > 1) res = res / n * (n-1); return res; } 欧拉定理的应用: 在模运算中,当a和n互质时,可以使用欧拉定理来简化指数运算。例如,计算a^k mod n,如果k很大,我们可以将k对&phi;(n)取模(因为a^&phi;(n)≡1 mod n,所以周期为&phi;(n)),即:a^k ≡ a^(k mod &phi;(n)) (mod n),但要注意这个简化要求a与n互质。 扩展欧拉定理(引用[1]提到): 扩展欧拉定理是针对a和n不互质的情况,或者指数k非常大的情况。其内容如下: 当k≥&phi;(n)时,有 a^k ≡ a^(k mod &phi;(n) + &phi;(n)) (mod n) 注意:当k<&phi;(n)时,不能这样化简。 综上所述,我们将从以下几个方面介绍: 1. 欧拉函数的定义和性质 2. 欧拉定理的内容和证明(简述) 3. 扩展欧拉定理的内容(简述) 4. 欧拉函数的计算方法(直接计算和线性筛法) 5. 欧拉定理的应用(如模指数运算的简化) 由于篇幅限制,我们主要介绍前4点,应用部分简单提及。 下面开始详细介绍: </think> ### 欧拉函数与欧拉定理详解 #### **一、欧拉函数(Euler's totient function)** 1. **定义** 欧拉函数 $\varphi(n)$ 表示 $1 \sim n$ 中与 $n$ 互质的正整数个数。例如: - $\varphi(1)=1$(仅1与自身互质) - $\varphi(7)=6$(质数的互质数为自身减1) - $\varphi(8)=4$(因 $1,3,5,7$ 与8互质) 2. **性质** - **积性函数**:若 $m,n$ 互质($\gcd(m,n)=1$),则 $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$[^1]。 - **质数幂公式**:若 $n=p^k$($p$ 为质数),则 $\varphi(n)=p^k - p^{k-1}$。 - **通项公式**:由算术基本定理,设 $n=\prod p_i^{k_i}$,则: $$ \varphi(n) = n \prod_{p_i | n} \left(1 - \frac{1}{p_i}\right) $$ *例如:$n=12=2^2 \times 3$,$\varphi(12)=12 \times (1-\frac{1}{2}) \times (1-\frac{1}{3})=4$*。 3. **计算方法** - **直接计算**(引用[3]): ```cpp int phi(int n) { int res = n; for (int i = 2; i <= n/i; i++) { if (n % i == 0) { res = res / i * (i-1); // 先除后乘防溢出 while (n % i == 0) n /= i; } } if (n > 1) res = res / n * (n-1); return res; } ``` - **线性筛法**(引用[2][4]): ```cpp void euler_sieve(int n) { vector<bool> is_prime(n+1, true); vector<int> primes, phi(n+1); phi[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (is_prime[i]) { primes.push_back(i); phi[i] = i-1; // 质数的&phi;值 } for (int p : primes) { if (i * p > n) break; is_prime[i*p] = false; if (i % p == 0) { phi[i*p] = phi[i] * p; // p整除i时的递推 break; } else phi[i*p] = phi[i] * (p-1); // p不整除i时的递推 } } } ``` - **四种情况**: 1. $\varphi(1)=1$ 2. $\varphi(\text{质数}) = \text{质数}-1$ 3. $p \mid i \Rightarrow \varphi(ip)=\varphi(i) \times p$ 4. $p \nmid i \Rightarrow \varphi(ip)=\varphi(i) \times (p-1)$ --- #### **二、欧拉定理(Euler's theorem)** 1. **核心内容** 若正整数 $a$ 与 $n$ 互质($\gcd(a,n)=1$),则: $$ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} $$ *例如:$a=3, n=8, \varphi(8)=4 \Rightarrow 3^4=81 \equiv 1 \pmod{8}$*。 2. **费马小定理(特例)** 当 $n=p$(质数)时,$\varphi(p)=p-1$,退化为: $$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \quad (\text{要求 } p \nmid a) $$ 3. **扩展欧拉定理**(引用[1]) 对任意 $a, n, k$(不要求互质): - 若 $k < \varphi(n)$:$a^k \equiv a^k \pmod{n}$ - 若 $k \ge \varphi(n)$:$a^k \equiv a^{k \mod \varphi(n) + \varphi(n)} \pmod{n}$ *应用场景:快速计算大指数模运算(如 $7^{10^{100}} \mod 100$)*。 --- #### **三、关键证明思路** 1. **欧拉函数积性证明** 基于中国剩余定理,构造模 $m$ 和模 $n$ 的互质剩余系,映射到模 $mn$ 的剩余系[^1]。 2. **欧拉定理证明** 设 $r_1, r_2, \dots, r_{\varphi(n)}$ 是模 $n$ 的简化剩余系,则 $ar_1, ar_2, \dots, ar_{\varphi(n)}$ 也是简化剩余系。因此: $$ \prod r_i \equiv \prod (ar_i) \equiv a^{\varphi(n)} \prod r_i \pmod{n} $$ 两边约去 $\prod r_i$ 即得证。 --- #### **四、应用场景** 1. **密码学**:RSA 加密依赖 $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$。 2. **数论问题**:求解同余方程(如 $a^x \equiv b \pmod{n}$)。 3. **算法优化**:大数模幂运算(扩展欧拉定理加速计算)。
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