msc的棋盘 - 网络流 - 最小割 - dp

最新推荐文章于 2019-04-20 15:53:48 发布

Mys_C_K

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分类专栏： DP动态规划组合计数最小割网络流

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本文探讨了一种在网格图上布局棋子的算法问题，旨在寻找满足特定行和列棋子数量限制的所有可能布局。通过转化问题为最小割和最大流模型，采用DP算法进行求解，实现了对复杂布局的有效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：
有一张网格图，每个位置有至多 $1$ 个棋子。告诉你每一列有多少棋子 ${b_m\}$ ，问有多少行的情况 ${a_n\}$ （即每一行有多少棋子），使得存在一种情况，满足这两个限制。
例如当 $n=4,m=2,b_1=1,b_2=3$ 的时候， ${1,1,1,1\},\{0,1,1,2\}$ 及他们的多重排列共13中情况都是合法的（ ${0,1,1,2\}$ 和 ${1,2,0,1\}$ 被认为是两种方案）。 $n,m≤50,bi≤nn,m\le50,b_i\le n$ 。
题解：
考虑告诉你 ${a_n\}$ 怎么判定，其实这是另一个经典的问题，方法是先考虑朴素网络流，这个显然，然后转化为最小割，那么显然结果是，如果左边（行）选 $x$ 个，一定会选前 $x$ 小的，右边 $y$ 同理，记 $s a [x]$ 表示左边 $a$ 的前 $x$ 小，那么最小割是： $cost(x,y)=sa[x]+sb[y]+(n−x)(m−y)\min_{1\le x\le n,1\le y\le m}\ cost(x,y)=sa[x]+sb[y]+(n-x)(m-y)$
（如果就是这样一个判定可行的题目的话，你可以用类似斜率优化和桶排做到线性判定）
现在我们希望最大流是 $s=∑i=1mbis=\sum_{i=1}^m b_i$ ，也就是最小割是这个东西，那么就需要（显然一定存在一种割法使得代价是 $s$ ）： $∀x,y,cost(x,y)≥s\forall x,y,cost(x,y)\geq s$
这样对于每个 $x$ ，我们就可以求出一个 $s a [x]$ 的下界，不妨记作 $L [x]$ 。
然后我们就得到了能够使得 ${a_n\}$ 有解的充要条件。
然后就可以 $dp\mathrm{dp}$ 了，我们设 $d p (i, j, k)$ 表示填了 $j$ 行，最大值是 $i$ ，和是 $k$ ，那么枚举 $t$ 表示填 $t$ 行 $i + 1$ ，并在剩下的 $n - j$ 行中选择 $t$ 行：
$dp(i+1,j+t,k+t(i+1))+=dp(i,j,k)(n−jt),∀p∈[0,t],k+p(i+1)≥L[k+p]dp(i+1,j+t,k+t(i+1))+=dp(i,j,k)\binom{n-j}{t},\\ \forall p\in[0,t],k+p(i+1)\geq L[k+p]$
注意转移的时候要满足第二行，不满足置 $0$ （不合法）。
最后 $d p (m, n, s)$ 就是答案。

#include<bits/stdc++.h>
#define gc getchar()
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define lint long long
#define mod 1000000007
using namespace std;const int N=55;int b[N],L[N],dp[N][N][N*N],C[N][N];
int main()
{
	int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);rep(i,1,m) scanf("%d",&b[i]);sort(b+1,b+m+1);rep(i,1,m) b[i]+=b[i-1];
	rep(x,1,n) rep(y,0,m) L[x]=max(L[x],b[m]-b[y]-(n-x)*(m-y));int s=b[m];
	rep(i,0,n) C[i][0]=1;rep(i,1,n) rep(j,1,i) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	rep(i,0,n&&!L[i]) dp[0][i][0]=C[n][i];
	rep(i,0,m-1) rep(j,0,n) rep(k,L[j],s-(n-j)*(i+1)) if(dp[i][j][k])
		rep(t,0,n-j&&k+(i+1)*t<=s&&k+(i+1)*t>=L[j+t]) (dp[i+1][j+t][k+(i+1)*t]+=(lint)dp[i][j][k]*C[n-j][t]%mod)%=mod;
	return !printf("%d\n",dp[m][n][s]);
}