暴风士兵(stormtrooper) - 分治 - 多项式理论

题目大意：
我直接说题目抽象出来的模型吧：
给你一个序列$C$的前n项，之后都是0；一开始你有一个多项式$P(x)=1$，然后m次操作，每次$P=P\times(a_ix+b_i)$，也就是乘以一个单项式，然后你要输出$\sum_{i\geq0}C_i\left[x^i\right]P(x)$，并且强制在线。
代码里面的$C_i=n-i,a_i=input_i,b_i=1-a_i$，并且强制在线的手段是每次$input_i$要加上上一次的$ans$，并且$ans(init)=n$。

题解：
直接做是平方的，gg。考虑这么一件事情：
假设你在处理第$t$个询问，当前多项式是P，然后前若干（不超过$t$）个单项式乘积是L，还要再乘以R才能得到想要的P，那么答案：

$$ans_t=\sum_{i\geq0}C_i\left[x^i\right]\left(L(x)\times R(x)\right)\\=\sum_{i\geq0}C_i\sum_{j=0}^iL_jR_{i-j}\\=\sum_{k=i-j\geq0}R_k\sum_{i\geq k}C_i L_{i-k}$$
其中那两个下标是多项式系数。
这个意味着，除了先算出$L(x)R(x)$，然后在和$C$做点积这种朴素做法以外，你还可以不依赖于R的先求出一个C’然后去和R做点积之类的。

考虑分治（先不要吐槽为啥强制在线了还分治）
取L是分治区间左半部分的乘积，C是$[1,L-1]$的$C'$，然后这两个做减法卷积得到$[1,mid]$的$C'$，然后递归右半部分。最终的R取为那个单项式即可。

然后注意到这时C超过区间长度的部分是没有意义的，L显然也是区间长度级别的，因此复杂度是对的。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define gc getchar()
#define lint long long
#define p 998244353
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define clr(a,n) memset(a,0,sizeof(int)*(n))
#define cpy(a,b,n) memcpy(a,b,sizeof(int)*(n))
#define N 800010
using namespace std;
inline int inn()
{
    int x,ch;while((ch=gc)<'0'||ch>'9');
    x=ch^'0';while((ch=gc)>='0'&&ch<='9')
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');return x;
}
int ans=0,a[N],b[N],r[N],c[N],pl[N],pd[N];
inline int fast_pow(int x,int k,int ans=1) { for(;k;k>>=1,x=(lint)x*x%p) (k&1)?ans=(lint)ans*x%p:0;return ans; }
inline int NTT(int *a,int n,int s)
{
    for(int i=1;i<=n;i++) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for(int i=2;i<=n;i<<=1)
    {
        int wn=fast_pow(3,s>0?(p-1)/i:p-1-(p-1)/i);
        for(int j=0,t=i>>1,x,y;j<n;j+=i)
            for(int k=0,w=1;k<t;k++,w=(lint)w*wn%p)
                x=a[j+k],y=(lint)w*a[j+k+t]%p,
                ((a[j+k]=x+y)>=p?a[j+k]-=p:0),
                ((a[j+k+t]=x-y)<0?a[j+k+t]+=p:0);
    }
    int ninv=fast_pow(n,p-2);
    if(s<0) for(int i=0;i<n;i++) a[i]=(lint)a[i]*ninv%p;
    return 0;
}
inline int tms(int *A,int *B,int *C,int m1,int m2)
{
    int n=1,L=0;for(;n<=m1+m2;n<<=1,L++);
    for(int i=1;i<=n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    clr(a,n),cpy(a,A,m1+1),NTT(a,n,1),
    clr(b,n),cpy(b,B,m2+1),NTT(b,n,1);
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=(lint)a[i]*b[i]%p;
    return NTT(a,n,-1),cpy(C,a,m1+m2+1),0;
}
inline int mns(int *A,int *B,int *C,int m1,int m2)
{
    reverse(B,B+m2+1),tms(A,B,a,m1,m2);
    for(int i=0;i<=m1-m2;i++) C[i]=a[i+m2];
    return reverse(B,B+m2+1),0;
}
inline int solve(int l,int r,int *c,int *pd,int *pl)
{
    int mid=(l+r)>>1,L=mid-l+1,R=r-mid;
    if(l==r) return pd[1]=(ans+inn())%p,pd[0]=(1-pd[1]+p)%p,
        printf("%d\n",ans=((lint)c[0]*pd[0]+(lint)c[1]*pd[1])%p);
    return solve(l,mid,c,pd,pl),mns(c,pd,pl,L+R,L),
        solve(mid+1,r,pl,pd+L+1,pl+R+1),tms(pd,pd+L+1,pd,L,R);
}
int main() { ans=inn();rep(i,0,ans) c[i]=ans-i;return solve(1,inn(),c,pd,pl),0; }