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RSS订阅原创 （八）解析函数的无穷可微性与 Cauchy 型积分定理
1. 解析函数的无穷可微性1.1. 解析函数的高阶导数1.2. 柯西不等式1.3. Liouville 定理1.4. 代数基本定理
2023-07-05 11:40:11
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原创 （七）Cauchy 积分公式及其推论
本文主要内容包括：1. Cauchy 积分公式2. Cauthy 积分公式的重要推论2.1. 平均值定理2.2. 最大模原理
2023-07-04 14:31:36
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原创 （五）复函数积分的定义与性质
本文内容主要如下：1. 复积分的概念1.1. 复积分的定义1.2. 复积分的存在性与计算1.3. 一个圆周上的重要积分公式1.4. 复积分的基本性质
2023-07-04 11:00:38
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原创 （三）解析函数及其性质
1. 复变函数的导数与微分1.1. 复变函数可导、可微、解析与奇点的定义1.2. 复变函数可微的充要条件1.3. 关于复变函数可微性判定的其它形式1.4. 相关结论
2023-06-30 12:11:18
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原创 （五）物质导数与空间时间导数
的物质导数3. 随体坐标系 {XA,t}\{X^A,t\}{XA,t} 相关量的物质导数3.1. 随体坐标系 {XA,t}\{X^A,t\}{XA,t} 基矢的物质导数3.2. 随体坐标系 {XA,t}\{X^A,t\}{XA,t} 协变基矢混合积的 C\sqrt{C}C 的物质导数3.3. J\mathscr{J}J 的物质导数4. 任意张量在空间坐标系与随体坐标系 {XA,t}\{X^A,t\}{XA,t} 中的物质导数考虑运动变形过程中代表性物质点的物理量 Φ\bold\PhiΦ(张量) 随时间
2023-02-25 10:30:47
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原创 （十）守恒律（主平衡原理）
的平面与三个局部协变基向量所在直线相截得到的四面体 ABCD，各面面积与单位法向量如图所示。，如图给出了点 A 处的坐标标架，过点 A 各坐标线的切向为协变基矢。另外根据四面体与平行六面体间的体积关系，可将四面体 ABCD 的体积。式中，假定流不仅依赖于位置坐标与时间，同时还依赖于物体表面的。由于代表性物质点 A 是任意选取的，故将下标 A 省去，写作。的协变分量，对于固定的代表性物质点 A 及恒定的外法向。对于固定的代表性物质点 A 及恒定的外法向。，它在空间坐标系中的位矢为。，现考虑某单位法向量为。
2023-02-25 09:45:26
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原创 （四）应变度量
无论是立足于参考构型还是当前构型，某一代表性物质点领域内的变形（某方向的长度比、任意两方向夹角的变化、面元体元的改变）均可通过主长度比/主方向加以描述。1822 年 Cauchy 提出在小变形条件下，可用熟知的六个柯西应变分量来度量材料的线段变形与角度变形，又。，来描述代表性物质点邻域内的变形状态。式中运用了无变形无应变的条件。立足于参考构型，经历变形后，任意方向线元。立足于当前构型，经历变形后，任意方向线元。时的极限 (应用洛必达法则)，即。于 1968 年定义了。
2023-02-25 09:44:50
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原创 （七）输运定理
根据环量输运定理，可知该运动环量不变，又因为速度有势时加速度也有势，故证毕。若加速度 (速度) 为势的梯度，则运动为环量的梯度。为闭合曲线时，则可得到如下的。时刻参考构型中由物质点。时刻它们分别演化为曲线。特别地，取张量场为速度场。，故称上述类型的积分为。特别地，取张量场为向量。
2023-02-25 09:43:50
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原创 （三）代表性物质点邻域的变形分析
由于变形梯度为正则仿射量，故可进行极分解:F=R⋅U=V⋅R\bold F=\bold R\cdot\bold U=\bold V\cdot \bold RF=R⋅U=V⋅R将正交仿射量 R\bold RR 称作转动张量；正张量 U\bold UU、V\bold VV 分别称作 右、左伸长张量，且满足：U=FT⋅F V=F⋅FT U=RT⋅V⋅R\bold U=\sqrt{\bold{F^T\cdot F}}\\\ \\\bold V=\sqrt{\bold{F\cdot F^T}}\\\ \\\
2023-02-25 09:43:29
780
原创 （六）速度梯度与加速度梯度
对于速度场 v⃗=v⃗(x⃗,t)=vig⃗i\vec{v}=\vec{v}(\vec{x},t)=v^i\vec{g}_iv=v(x,t)=vigi，其右梯度 (称作速度梯度) 可写作v⃗▽=∂v⃗∂xj⊗g⃗ j=vi∣jg⃗i⊗g⃗j≜L =∂v⃗∂XA∂XA∂xj⊗g⃗ j=∂v⃗∂XA⊗C⃗A=vB∣∣AC⃗B⊗C⃗A=C⃗∙A⊗C⃗A =(C⃗∙B⊗G⃗B)⋅(G⃗A⊗C⃗A)=F∙⋅F−1\begin{aligned}& \vec{v}\triangledown=\d
2023-02-25 09:42:52
3002
原创 （十一）质量、动量、动量矩与能量守恒
在不考虑化学反应（无源项 Ψ=0\bold\Psi=0Ψ=0），物质交换（无流项 π(N⃗)=0\bold\pi(\vec{N})=0π(N)=0）的情况下，质量守恒可以表示为 (Φ=1\bold\Phi=1Φ=1)：DDt∫vρdv=∫vDDt(ρdv)=∫v[ρ∙+ρ(▽⋅v⃗)]dv=0\dfrac{D}{Dt}\int_v\rho dv=\int_v\dfrac{D}{Dt}(\rho dv) =\int_v[\overset{\bullet}{\rho}+\rho(\triangledown\
2023-02-25 09:42:20
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原创 （二十六）仿射量不变量的梯度
本文主要内容如下：1. 仿射量的各向同性标量值函数的梯度为各向同性张量函数2. 二阶张量矩的梯度3. 二阶张量主不变量的梯度4. 方根的第一主不变量的梯度
2022-10-10 21:51:01
568
原创 （二十五）各向同性张量(函数)
1. 各向同性张量2. 各项同性张量的实例2.1. 标量(零阶张量)2.2. 向量(一阶张量)2.3. 仿射量(二阶张量)2.4. 三阶张量2.5. 四阶张量3. 各向同性张量函数4. 仿射量的主不变量是标量值的各向同性函数
2022-10-10 18:51:42
3317
原创 （二十四）正交曲线坐标系中的物理分量
本文主要内容如下：1. Lamé 常数2. 物理标架与物理分量3. Pfaff 导数4. 物理标架上的 Christoffel 符号5. 物理标架上的梯度、散度与旋度
2022-10-08 15:19:38
789
原创 （二十一）协变导数
1. 协变导数1.1. 协变导数与矢量场的梯度1.2. 协变导数与张量场的梯度2. 协变导数的性质2.1. 度量张量分量的协变导数为零（Ricci引理）2.2. 置换张量分量的协变导数为零2.3. 协变导数的求导法则3. 两个易混淆的关系式3.1 张量张量积的梯度3.2 张量点积的梯度
2022-10-07 17:10:34
1840
原创 （五）Richardson 迭代法
本文主要内容如下：1. Richardson 迭代法2. Richardson 迭代法的收敛条件3. 算法实现与算例验证
2022-10-04 00:27:39
4246
原创 （十 九）基矢量的导数、Christoffel符号
本文的主要内容如下：1. 协变基矢对曲线坐标的导数与Christoffel符号2. Christoffel符号的计算与性质2.1. Christoffel符号的计算2.2. Christoffel符号的对称性与指标升降关系2.3. 度量张量的协变分量与第一类Christoffel符号的关系2.4. 第二类Christoffel符号与协变基矢的混合积\sqrt{g} g 的关系2.5. Christoffel符号不是三阶张量的分量3. 逆变基矢对曲线坐标的导数
2022-09-25 15:07:01
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原创 （十 四）特殊的二阶张量——非负张量、正张量(对称正定仿射量)
本文主要内容包括：1. 正张量、非负张量的概念2. 正张量、非负张量的充要条件3. 由任意(正则)张量构造非负(正)张量的一种方式
2022-09-21 09:32:51
1625
原创 （十 六）二阶张量的分解——乘法分解（极分解）
本文主要内容如下：1. 仿射量极分解的存在性与唯一性2. 左、右极分解正张量特征值与特征向量的关系
2022-09-21 01:08:55
1401
原创 （十 五）二阶张量的分解——加法分解（和分解）
本文主要内容如下：1. 加法分解的存在性与唯一性2. 仿射量(反)对称部分主不变量与仿射量主不变量之间的联系3. 球形张量与偏斜张量及其特征值与特征方向4. 对称仿射量球(偏)量部分主不变量与对称仿射量主不变量之间的联系
2022-09-20 20:12:01
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原创 （十 一）非对称二阶实张量的标准形
本文按照如下特征方程解的情况讨论非对称二阶实张量的标准形：1. 特征方程无重根1.1. 特征方程有三个互异的实根1.2. 特征方程有一个实根和一对共轭复根2. 特征方程有二重实根和一个与重根互异的实根2.1. 二重特征值的几何重数等于22.2. 二重特征值的几何重数等于13. 特征方程有三重实根3.1. 三重特征值的几何重数等于33.2. 三重特征值的几何重数等于23.3. 三重特征值的几何重数等于1
2022-09-04 19:47:22
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原创 （十 二）特殊的二阶张量——正交张量（二）
本文主要内容为：1. 正交张量的标准形【注】正交张量的其它性质，请参见（十 三)(二）特殊二阶张量一文
2022-09-04 19:06:10
1060
原创 （十 二）特殊的二阶张量——正交张量（一）
本文主要讲述正交张量的性质：1. 正常正交张量与反常正交张量2. 正交变换3. 正交张量的特征值4. 正交张量的特征向量
2022-09-04 16:51:51
2459
原创 （十 三）特殊的二阶张量——反对称张量
本文主要内容如下：1. 反对称二阶张量的概念2. 反对称二阶张量的主不变量3. 反对称二阶张量的特征值与特征向量4. 反对称二阶张量的标准形4. 反偶矢量5. 反对称二阶张量对应的线性变换
2022-09-02 19:51:29
3626
原创 （十）二阶张量的特征值问题
本文主要内容如下：1. 二阶张量的特征值问题与矩阵的特征值问题2. 一般二阶张量的特征值与特征向量的性质3. 实对称二阶张量的特征值与特征向量的性质3.1 实对称张量的特征值为实数3.2 实对称张量不同特征值对应的特征向量正交3.3 实对称张量特征空间的几何特征
2022-08-18 21:09:22
1743
原创 （九）二阶张量的不变量
1. 二阶张量的不变量1.1. 张量的标量不变量1.2. 二阶张量的主不变量1.3. 二阶张量的矩(Nanson公式的证明)
2022-08-17 17:43:32
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