线性代数---第六章---二次型

最新推荐文章于 2024-12-18 16:47:04 发布

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#线性代数 #算法 #人工智能

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这篇博客探讨了线性代数中的二次型概念，包括二次型的系数矩阵、规范形、正负惯性指数、实对称阵与对角阵的关系。通过配方法和正交变换，可以将二次型转化为标准型，并讨论了在坐标变换下的正交矩阵、特征值稳定性以及合同变换对秩的影响。二次型的正负惯性指数在经过坐标变换后保持唯一，而特征值则保持不变。

1二次型方的系数为主对角线上的元素

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我起码要会如何根据二次型写矩阵A

2规范形是系数为1，-1，0的标准型

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3二次型的正惯性指数和负惯性指数

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4任一个n阶实对称阵，必然既相似又合同于对角阵

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5用配方法化二次型为标准阵

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6 正交变换得到的对角阵上元素就是A的特征值

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7正交矩阵的各行各列均为单位向量且互相正交

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8所谓使用正交矩阵x=Cy

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9施密特正交化不用根号

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10利用求拉姆他E-A的特征值的办法来求正惯性系数和负惯性系数

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11对一个二次型x的转置Ax经坐标变换化为标准型，其正惯性指数和负惯性指数都是唯一确定的。合同也属于坐标变换的一种。

12二次型经正交变换或者说坐标变换，也就是合同（x的转置）其特征值是不变的，矩阵的秩有可能变也有可能不变。对应k重特征根有k个线性无关的特征向量。

13 二次型化为标准型的一般步骤

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14相似的充要条件，特征值相同，行列式相同，迹相同，秩相同

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