hdu 5441 Travel（并查集+二分）

题意：

一个$n$个点的无向图，给出m条边的边权，给出q次询问，每次给出一个值，求用到所有边权不大于这个值的边的情况下，能够互相到达的点对的个数。

解析：

首先我们对边按照边权从小到大排序。
构造一个前缀和数组$sum[n]$，表示添加到第$n$条边，有多小条能互相到达的点对数。
还有一个要注意的是每增加一个联通块，假如联通块的个数为$n$，那么增加的点对数为$C_n^2*2$

那么怎么构造$sum[n]$数组呢，可以用到并查集，每次添加第n条边的时候，查询是否能连接两个新的联通块，如果能连接两个新的联通块，那么
$sum[n]$更新的是，先减去两个被连接的连同块的个数，假设两个联通块数分别为$son[a]$和$son[b]$，
$sum[n] = sum[n-1] - (C_{son[a]}^2 + C_{son[b]}^2)*2$
然后新合并之后的联通块数为$son[c]$，那么$sum[n] += C_{son[c]}^2*2$
对于每次查询x，那么可以二分查找第一个$≤x$，的排序后边权值的位置。
然后输出该位置的$sum$值，总复杂度$O(nlog(n))$

$my$ $code$

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = (int)2e4 + 10;
const int M = (int)1e5 + 10;
struct Edge {
    int u, v;
    ll val;
} edge[M];

int pa[N];
ll son[N];

ll sum[M];
int n, m, q;

ll cn2(ll n) {
    if(n < 2) return 0;
    ll ret = n * (n-1) / 2;
    return ret;
}

bool cmp(Edge a, Edge b) {
    return a.val < b.val;
}

void init() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        pa[i] = i;
        son[i] = 1;
    }
}

int find(int u) {
    if(u == pa[u]) return pa[u];
    else return pa[u] = find(pa[u]);
}

void Union(int u, int v) {
    int r1 = find(u), r2 = find(v);
    if(r1 == r2) return ;
    if(r1 < r2) {
        pa[r2] = r1;
        son[r1] += son[r2];
    }else {
        pa[r1] = pa[r2];
        son[r2] += son[r1];
    }
}

void prepare() {
    sort(edge+1, edge+m+1, cmp);
    int u, v;
    sum[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        u = edge[i].u, v = edge[i].v;
        int r1 = find(u), r2 = find(v);
        if(r1 != r2) {
            sum[i] = (sum[i-1] - (cn2(son[r1]) + cn2(son[r2])) * 2);
            Union(u, v);
            r1 = find(u);
            sum[i] += cn2(son[r1]) * 2;
        }else {
            sum[i] = sum[i-1];
        }
    }
}

int search(int x) {
    int L = 0, R = m;
    while(L < R) {
        int M = (L + R) >> 1;
        if(edge[M].val <= x) L = M+1;
        else R = M;
    }
    return L-1;
}

int main() {
    int u, v, val, q;
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
        init();
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            scanf("%d%d%d", &u, &v, &val);
            edge[i] = (Edge){u, v, val};
        }
        prepare();
        while(q--) {
            scanf("%d", &val);
            int pos = search(val);
            printf("%lld\n", sum[pos]);
        }
    }
    return 0;
}