hdu 4407 SUM(容斥原理)

本文探讨了一个涉及数列操作的问题,包括求区间内与特定数互质的数之和,以及数列元素值的修改。通过容斥原理,文章详细解释了如何高效计算与给定数互质的数的和,并介绍了操作2的实现方法。同时强调了在处理大数时使用的数据类型转换的重要性。

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题意:

有一个元素为 1~n 的数列 An ,有2种操作(最多1000次):
1. 求某段区间 [a,b] 中与 p 互质的数的和。
2. 将数列中某个位置元素的值改变。

解析:

刚刚开始的时候想成线段树了,看了题解才明白是用容斥原理来做。
对于操作1,解的性质满足区间减法,则我们只需要考虑如何求 [1,n] 中与 p 互质的数的和即可。
由于与 p 互质的数的和不太好求,于是可以通过先求出与 p 不互质的数的和。
若一个数 x 若与 p 不互质,当且仅当两者素因子的集合有交集。
根据这个定理,可以先预处理出每个数的质因子,然后利用利用容斥原理求出,到当前终止位置,有多少数字和 p 不互质。
又由于满足区间减法,所以可以求出有区间内有多少数字和 p 不互质。那么区间内的和减去区间内和 p 不互质的数的和就是最终答案。

对于操作2,修改用map记录,每次扫一遍即可,如果原数和 c 互质就减掉,修改完的数和c互质就加上去,总复杂度 O(m2log(n))

注意:

n最大为400000,中间过程有n*(n+1),如果用 int 会超出范围,所以要用 longlong ,不然会WA。

my code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = (int)4e5 + 5;
map<int, int> mp;
map<int, int>::iterator it;
vector<int> prime[N];
int n, m;

int gcd(int a, int b) {
    if(b == 0) return a;
    else return gcd(b, a%b);
}

void getFactor() {
    for(int i = 2; i < N; i++) {
        if(prime[i].size() > 0) continue;
        for(int j = i; j < N; j += i) {
            prime[j].pb(i);
        }
    }
}

ll cal(int r, int num) {
    int size = prime[num].size();
    ll ret = 0;
    for(int i = 1; i < (1<<size); i++) {
        int cnt = 0;
        ll d = 1;
        for(int j = 0; j < prime[num].size(); j++) {
            if((i >> j) & 1) {
                d *= prime[num][j];
                cnt++;
            }
        }
        ll n = r / d;
        if(cnt & 1) ret += n * (n + 1) / 2 * d;
        else ret -= n * (n + 1) / 2 * d;
    }
    return ret;
}

ll query(int ql, int qr, int val) {
    ll n = (qr - ql + 1);
    ll sum = n * ql + n * (n - 1) / 2;
    sum -= (cal(qr, val) - cal(ql - 1, val));
    for(it = mp.begin(); it != mp.end(); it++) {
        if(ql <= it->first && it->first <= qr) {
            if(gcd(val, it->second) == 1) sum += it->second;
            if(gcd(val, it->first) == 1) sum -= it->first;
        }
    }
    return sum;
}

int main() {
    getFactor();
    int op, x, y, val;
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        mp.clear();
        scanf("%d%d", &n, &m);
        while(m--) {
            scanf("%d", &op);
            if(op == 1) {
                scanf("%d%d%d", &x, &y, &val);
                ll ans = query(x, y, val);
                printf("%lld\n", ans);
            }else {
                scanf("%d%d", &x, &val);
                mp[x] = val;
            }
        }
    }
    return 0;
}
内容概要:本文详细介绍了名为MoSca的系统,该系统旨在从单目随意拍摄的视频中重建和合成动态场景的新视角。MoSca通过4D Motion Scaffolds(运动支架)将视频数据转化为紧凑平滑编码的Motion Scaffold表示,并将场景几何和外观与变形场解耦,通过高斯融合进行优化。系统还解决了相机焦距和姿态的问题,无需额外的姿态估计工具。文章不仅提供了系统的理论背景,还给出了基于PyTorch的简化实现代码,涵盖MotionScaffold、GaussianFusion、MoScaSystem等核心组件。此外,文中深入探讨了ARAP变形模型、2D先验到3D的提升、动态高斯表示、相机参数估计等关键技术,并提出了完整的训练流程和性能优化技巧。 适用人群:具备一定计算机视觉和深度学习基础的研究人员和工程师,特别是对动态场景重建和新视角合成感兴趣的从业者。 使用场景及目标:①从单目视频中重建动态场景的新视角;②研究和实现基于4D Motion Scaffolds的动态场景表示方法;③探索如何利用预训练视觉模型的先验知识提升3D重建质量;④开发高效的动态场景渲染和优化算法。 其他说明:本文提供了详细的代码实现,包括简化版和深入扩展的技术细节。阅读者可以通过代码实践加深对MoSca系统的理解,并根据具体应用场景调整和扩展各个模块。此外,文中还强调了物理启发的正则化项和多模态先验融合的重要性,帮助实现更合理的变形和更高质量的渲染效果。
按照刚刚同样的格式整理总结一下以下内容:幻灯片1 矩阵前缀和 幻灯片2 复习: 前缀和算法  对于一个长为n的序列a = {a[1],a[2],a[3],....,a[n]}  我们可以求出a的前缀和数组s,其中s[i] = a[1]+a[2]+...+a[i]  这样当我们想要求a序列中一段区间的和时,就可以用s[r]-s[l-1]求出a[l]+a[l+1]+...+a[r]的区间和 幻灯片3 问题探究  在一个矩阵上,如果我们想要求出一个子矩阵的和,是否有类似于前缀和的方法?  提示,考虑一下如何定义矩阵上的“前缀” ? 幻灯片4 求面积 思考: 下图的大矩形S,被划分出了四个子矩形A,B,C,D  请用A,B,C,D的面积,进行四则运算,得到大矩形的面积  请用S,A,B,C的面积,通过四则运算,得到矩形D的面积 幻灯片5 启发 通过上面的例子可以想到:  当我们想要算出矩阵中某一块子矩阵的和,例如想要得到矩形D的和,可以先提前求出S,A,B,C的和(就像在一维前缀和算法中求sum[]数组一样)  再通过S-A-B+C得到D的矩阵和  要提前求出S,A,B,C这类矩形的和,就要先归纳出他们的特点。  思考: S,A,B,C这些矩形有什么共性呢? 幻灯片6 前缀矩阵 很容易发现,S、A、B、C都是以矩阵中的某个元素为右下角,以矩阵第一行第一列为左上角的  我们把这些矩阵称为前缀矩阵,在二维前缀和算法中,就是要提前求出sum[i][j]表示以第i行第j列为右下角的前缀矩阵和  下图这些子矩阵就是前缀矩阵: 幻灯片7 练一练 sum[i][j]表示以第i行第j列为右下角的前缀矩阵和  对于右侧矩阵:    求出: sum[2][3] sum[4][2] sum[3][5] 幻灯片8 预处理 想要快速求出所有的前缀矩阵和sum[i][j],就要类似一维前缀和那样找到相应的递推公式,像动态规划一样快速的求出所有的sum值  看看下面的矩阵,S = C+B-A+D ,替换成sum值和矩阵a中的元素就是: sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1] + a[i][j]      这就是矩阵前缀和的递推公式,请认真理解并记忆 幻灯片9 预处理—代码实现  读入n,m和n*m的矩阵,求出sum[][]数组,并将其输出  输入样例: 输出样例:     sum[i][j] = sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1] + a[i][j]   幻灯片10 预处理-代码实现 幻灯片11 求出子矩阵的和 看下面一个例子,如何利用sum数组求出矩形D,也就是以(4,4)为左上角、(5,6)为右下角的的子矩阵和           幻灯片12 求出子矩阵的和 看下面一个例子,如何利用sum数组求出矩形D,也就是以(4,4)为左上角、(5,6)为右下角的的子矩阵和        D = S - B - C + A = sum[5][6] - sum[5][3] - sum[3][6] + sum[3][3]   幻灯片13 求出子矩阵的和 更普遍的,如果想要求出以(a,b)为左上角,(c,d)为右下角的子矩阵和  就可以用sum[c][d]-sum[a-1][d]-sum[c][b-1]+sum[a-1][b-1]  例如右图,矩阵D中: 左上角为(4,4),右下角为(5,6) 矩阵D的和为sum[5][6]-sum[3][4]-sum[4][3]+sum[3][3]   幻灯片14 例题: 1717 最大子矩阵 幻灯片15 暴力算法1 简单粗暴的处理方法是:  用双重循环枚举子矩阵左上角(a,b)的坐标  利用双重循环计算这个子矩阵的和  这样做的时间复杂度为O(n^4)  代码实现略,课后布置成作业,每位同学完成并提交后,在群里截图打卡“暴力算法1已完成”   幻灯片16 暴力算法2 简单粗暴的处理方法是:  用双重循环枚举子矩阵左上角(a,b)的坐标  利用一维前缀和,O(n)枚举子矩阵的每一行求和  这样做的时间复杂度为O(n^3)  代码实现略,课后布置成作业,每位同学完成并提交后,在群里截图打卡“暴力算法2已完成”   幻灯片17 标准解法 利用二维前缀和,我们在处理出sum[][]数组后,只要:  枚举子矩阵的左上角(a,b)的坐标,求出右下角(c = a+x-1, d = b+y-1)  利用二位前缀和直接求出子矩阵的和  sum[c][d]-sum[c][b-1]-sum[a-1][d]+sum[a-1][b-1]  幻灯片18 参考核心代码 幻灯片19 例题: 1722 星空 幻灯片20 例题: 1722 星空 幻灯片21 题解  简单分析,会发现每过c+1秒所有星星的亮度又变回来了  所以t时刻是等价于t%(c+1)时刻的  这样的话实际上只有0~c这c+1个不同的时刻  可以用sum[t][][]记录t时刻的星星亮度对应的矩阵前缀和,这样的预处理的复杂度是O(c*n*m)的,对于每次询问,只要计算出等价的0~c中的时刻,并计算矩阵和即可。 幻灯片22 例题 1724 Pond 幻灯片23 题解 二分中位数mid,将大于mid的数设为1,否则设为0  这样一个子矩阵的和就是这个子矩阵中大于mid的数的个数  枚举k*k的正方形子矩阵的右下角,并利用sum数组计算对应的矩阵和  如果找到一个子矩阵的和是≤k*k/2的,说明存在一个正方形子矩阵的中位数≤mid,就朝着小的方向二分,否则朝着大的方向二分 幻灯片24 核心代码 幻灯片25 作业  例题/中等难度题目 1717 1722 1724  较难题目 1720 1721 
03-08
<think>嗯,好的,我现在需要按照用户提供的格式整理关于矩阵前缀和的内容。首先,我需要仔细阅读用户提供的幻灯片内容,理解每个幻灯片的重点,然后按照之前的示例结构进行总结。 首先,幻灯片1的标题是“矩阵前缀和”,这是整个主题的核心。接下来,幻灯片2复习了一维前缀和算法,用户可能希望在这里明确一维前缀和的定义和应用,所以需要简要总结s[i]的计算方法和区间和的求法。 幻灯片3提出了问题,询问在矩阵中是否有类似前缀和的方法来求子矩阵的和,并提示考虑“前缀”的定义。这里需要强调问题探究的部分,说明二维情况下如何扩展一维的思路。 幻灯片4通过面积问题引入,可能需要用图示中的四个子矩形A、B、C、D来推导大矩形S的面积,进而得到D的面积。这里的关键是面积的计算公式,比如S = A + B + C + D,而D的面积可能通过其他三个区域表示,比如D = S - A - B + C?或者具体的公式需要根据图示确定。由于用户提到用S、A、B、C的面积通过四则运算得到D,可能正确的推导是D = S - A - B + C?或者可能不同的组合,需要仔细看幻灯片的内容。根据幻灯片5中的启发,提到S-A-B+C得到D,所以可能在幻灯片4中的例子中,D的面积等于S减去A和B,再加上C。这可能是因为A和B有重叠部分被减去了两次,所以需要加回来。因此,这里的关键公式是D = S - A - B + C。 接下来,幻灯片5的启发部分说明如何利用类似一维前缀和的方法,通过预处理得到各个区域的和,进而计算子矩阵的和。需要总结出sum数组的作用,以及这些区域的共性,即都是前缀矩阵。 幻灯片6定义了前缀矩阵,指出sum[i][j]是以第i行第j列为右下角的前缀矩阵和。这里需要明确sum数组的定义,并指出这些矩阵的共同点,即左上角都是矩阵的起点(比如(1,1))。 幻灯片7是练习题,可能要求计算特定位置的sum值。但用户可能希望在这里指出sum数组的具体计算方式,但整理时可能不需要详细数值,而是强调sum的计算方法。 幻灯片8讲解了预处理递推公式:sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + a[i][j]。这里需要解释公式的来源,即如何通过周围的前缀矩阵推导当前的和,可能涉及到覆盖区域的加减。 幻灯片9和10涉及代码实现,用户可能希望给出代码的结构或关键部分,比如循环遍历矩阵,按递推公式计算sum数组。 幻灯片11到13详细讲解了如何利用sum数组求子矩阵的和。例如,当要求以(a,b)为左上角,(c,d)为右下角的子矩阵时,公式为sum[c][d] - sum[a-1][d] - sum[c][b-1] + sum[a-1][b-1]。需要强调这个公式的推导过程,类似于面积计算中的容斥原理。 后面的幻灯片涉及例题和不同解法,如暴力算法和标准解法,以及一些具体题目的应用,如最大子矩阵、星空、Pond等。这里需要简要总结例题的关键点,比如如何应用矩阵前缀和来优化时间复杂度,或者如何结合其他算法(如二分查找)解决问题。 在整理过程中,需要注意保持结构清晰,分点说明,使用中文,并正确应用LaTeX格式,如矩阵和公式使用$$...$$或$...$。例如,递推公式应写成:$$sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + a[i][j]$$,而子矩阵和的公式则是:$$sum[c][d] - sum[a-1][d] - sum[c][b-1] + sum[a-1][b-1]$$。 同时,要注意例题部分的总结,例如1717题的标准解法使用二维前缀和将时间复杂度降低,而1722题利用时间周期的性质预处理多个前缀和数组,1724题则结合二分查找和矩阵前缀和来判断中位数可能的取值。 最后,用户要求按照之前的格式,即每个部分用标题和要点列表的形式整理,可能需要分为核心思想、递推公式、子矩阵和计算、预处理实现、例题应用等部分。需要确保每个步骤都清晰,逻辑连贯,帮助用户理解矩阵前缀和的原理和应用。</think># 矩阵前缀和知识总结 ## 一、核心思想 1. 将一维前缀和思想扩展到二维矩阵 2. 通过预处理前缀矩阵和数组$sum$,实现$O(1)$时间查询任意子矩阵和 ## 二、递推公式 $$sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + a[i][j]$$ ## 三、子矩阵和计算 给定左上角$(a,b)$,右下角$(c,d)$的子矩阵和为: $$sum[c][d] - sum[a-1][d] - sum[c][b-1] + sum[a-1][b-1]$$ ## 四、预处理实现 ```python for i in 1..n: for j in 1..m: sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + a[i][j] ``` ## 五、复杂度对比 | 算法类型 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | |---------|-----------|------------| | 暴力算法1 | $O(n^4)$ | $O(1)$ | | 暴力算法2 | $O(n^3)$ | $O(n)$ | | 前缀和算法 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | ## 六、典型应用 ### 1. 最大子矩阵(1717) - 枚举所有可能的子矩阵尺寸 - 利用前缀和快速计算子矩阵和 - 时间复杂度优化至$O(n^4) \rightarrow O(n^2)$ ### 2. 星空问题(1722) - 利用周期性预处理$c+1$个时间点的前缀和 - 对每次询问取模后$O(1)$时间响应 ### 3. 池塘问题(1724) - 二分答案结合矩阵前缀和 - 将矩阵元素二值化后统计子矩阵中位数特性 - 时间复杂度$O(n^2 \log maxVal)$ ## 七、易错点 1. 矩阵下标从1开始时的边界处理 2. 递推公式中重复减去的$sum[i-1][j-1]$补偿项 3. 子矩阵坐标转换时±1的细节处理 ## 八、扩展应用 1. 动态矩阵更新(结合树状数组) 2. 三维前缀和(空间复杂度$O(n^3)$) 3. 带权矩阵的快速统计 ## 九、练习建议 1. 先完成暴力算法实现(作业要求) 2. 对比不同算法的时间效率 3. 绘制矩阵示意图辅助理解递推过程 ## 十、相关题目 - 必做:1717、1722、1724 - 提高:1720、1721 - 挑战:LOJ 最大加权子矩阵、HDU 多维前缀和 $\boxed{矩阵前缀和的核心在于通过空间换时间,将复杂问题转化为预处理后的快速查询}$
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