【容斥妙用】快速求积的和

给出n*n的矩阵a，设

$$ans=\prod_{i=1}^n a_{i,b_i}$$
其中，$b$为n的排列，

求对于所有b，ans的和

这题是一道提答题

Solution

这里给出$O(2^nn)$的解法（主要是空间小）
最终的答案为：

$$Ans=\sum_{S\in S_n}(-1)^{n-|S|}\prod_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{i,j}*[j\in S]$$
$S_n$为1~n的集合
最后一个$\sum$可以预处理一半，再$O(2)$出解，
总复杂度为$O(2^nn)$

证明

后面的式子可以看成是不同的选取方案的和，
合法的方案一定在容斥系数为1的时候出现且只出现一次（全集），
剩下不合法的，一定会被$2^{n-|x|}$个S包含，也就是出现的次数一定是$2^{n-|S|}$次，且容斥系数一半为1，一半为-1，
所有，式子最后的值就只有合法的方案的贡献，