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RSS订阅原创 数学建模学习-最优控制理论(Optimal Control Theory)教程(50)
最优控制理论是现代控制理论中的一个重要分支，它研究如何在满足系统动力学约束的条件下，设计控制输入使得系统性能达到最优。这个理论在工程实践、经济学、生物系统等众多领域都有广泛应用。线性二次型调节器(Linear Quadratic Regulator, LQR)是最优控制理论中最基础也是最重要的方法之一。它针对线性系统，采用二次型性能指标，可以得到解析解，在实际应用中非常实用。
2025-01-27 12:40:06
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原创 数学建模学习-排队论(Queueing Theory)教程(49)
排队论(Queueing Theory)是研究排队系统中随机服务过程的数学理论和方法。它主要研究顾客到达、等待、接受服务和离开系统的随机过程，用于分析和优化服务系统的性能。输入过程：描述顾客到达系统的随机过程排队规则：描述顾客等待服务的方式服务机制：描述服务设施的数量和服务方式服务时间：描述每个顾客接受服务所需时间的随机变量# 记录到达时间# 请求柜员服务# 计算等待时间# 服务时间服从正态分布理解和分析服务系统的运行特性预测系统的性能指标优化系统的设计和运行。
2025-01-27 11:39:15
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原创 数学建模学习-网络流优化(Network Flow Optimization)教程(48)
网络流优化是运筹学和图论中的重要分支，主要研究如何在网络中寻找最优流量分配。其核心问题包括最大流问题、最小费用流问题和多商品流问题等。本教程将重点介绍最大流问题及其求解算法。网络流优化为我们提供了一个强大的工具来解决资源分配问题。理解了网络流的基本概念掌握了最大流算法的实现学会了结果的可视化分析了解了实际应用中的注意事项发展更高效的算法处理更复杂的约束结合机器学习方法探索实时优化技术。
2025-01-26 11:46:23
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原创 数学建模学习-随机微分方程(Stochastic Differential Equations)教程(47)
随机微分方程（Stochastic Differential Equations，SDE）是一类包含随机过程的微分方程。与普通微分方程不同，SDE考虑了系统中的随机扰动，使其更适合描述现实世界中的不确定性。在金融、物理、生物等领域都有广泛应用。随机微分方程为我们提供了一个强大的工具来研究随机动态系统。理解了SDE的基本概念和数学框架掌握了数值模拟的基本方法学会了结果的可视化和分析了解了实际应用中的注意事项发展更高效的数值方法构建更复杂的随机模型探索机器学习与SDE的结合。
2025-01-26 11:43:50
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原创 数学建模学习-演化博弈论(Evolutionary Game Theory)教程(46)
演化博弈论（Evolutionary Game Theory，EGT）是将博弈论与动态演化过程相结合的理论框架。与传统博弈论不同，演化博弈论关注的是群体中不同策略的分布如何随时间演化，而不是寻找纳什均衡。这种方法特别适合研究生物进化、社会行为演化、经济系统动态等问题。演化博弈论为我们提供了一个强大的工具来研究群体行为的动态演化过程。理解策略在群体中的传播规律预测系统的长期行为分析稳定性和鲁棒性设计干预措施以引导系统向期望的方向演化将深度学习与演化博弈论结合研究更复杂的网络结构影响。
2025-01-26 11:42:42
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原创 数学建模学习-张量分解(Tensor Decomposition)教程(45)
张量分解（Tensor Decomposition）是多维数据分析中的一个重要工具，它是矩阵分解在高维数据上的推广。用户-商品-时间的评分数据图像-时间序列数据脑电图多通道时序数据社交网络多维关系数据发现数据中的潜在模式降维和特征提取缺失数据补全异常检测多维数据压缩保持数据的多维结构发现潜在的模式和关系提供可解释的结果应用于多个实际场景在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的分解方法和参数，同时注意数据预处理和结果解释的问题。
2025-01-25 10:07:19
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原创 数学建模学习-稀疏编码(Sparse Coding)教程(44)
稀疏编码（Sparse Coding）是一种重要的数据表示方法，它的核心思想是用尽可能少的基本元素（称为字典）来表示复杂的数据。在数学建模中，稀疏编码常用于信号处理、图像压缩、特征提取等领域。稀疏编码的基本思想可以用数学形式表示为：对于给定的数据矩阵 X，我们希望找到字典矩阵 D 和稀疏系数矩阵 α，使得：X ≈ DαX 是输入数据矩阵D 是学习得到的字典矩阵α 是稀疏系数矩阵（大部分元素接近或等于0）
2025-01-24 21:16:09
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原创 2025年美国大学生数学建模竞赛C题思路(对每题分析)
1.目标：建立一个模型来预测每个国家的奖牌数，特别是金牌和总奖牌数。步骤：2.使用提供的summerOly_athletes.csv和summerOly_medal_counts.csv数据。3.清理数据，处理缺失值和异常值。4.提取有用的特征，如国家、年份、项目、奖牌类型等。5.选择适当的机器学习算法，如线性回归、随机森林或梯度提升树。6.将数据分为训练集和测试集，进行模型训练和验证。7.评估模型性能，使用交叉验证和调整超参数来优化模型。
2025-01-24 09:47:51
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原创 数学建模学习-傅里叶分析(Fourier Analysis)教程(43)
傅里叶分析（Fourier Analysis）是一种将复杂信号分解为简单周期函数（正弦和余弦函数）之和的数学方法。这种方法在信号处理、数据分析和科学计算中有着广泛的应用。傅里叶分析的核心思想是：任何周期信号都可以表示为不同频率的正弦波的叠加。傅里叶变换（Fourier Transform）频谱分析（Spectrum Analysis）信号重构（Signal Reconstruction）滤波处理（Filtering）理解信号的频率特性进行有效的信号处理提取重要的特征信息。
2025-01-23 16:16:50
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原创 数学建模学习-混沌理论(Chaos Theory)教程(42)
混沌理论（Chaos Theory）是研究复杂系统动力学行为的重要理论，它主要关注那些看似随机但实际上具有确定性的系统。这种系统对初始条件极其敏感，即使很小的变化也会导致完全不同的结果，这就是著名的"蝴蝶效应"。
2025-01-22 11:55:11
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原创 数学建模学习-季节性分解(Seasonal Decomposition)教程(41)
季节性分解（Seasonal Decomposition）是一种重要的时间序列分析方法，它可以将时间序列数据分解为几个基本组成部分：趋势（Trend）、季节性（Seasonality）和残差（Residual）。这种分解可以帮助我们更好地理解时间序列数据的内在结构和变化规律。趋势（Trend）：反映数据的长期变化方向季节性（Seasonality）：反映数据的周期性变化模式残差（Residual）：反映随机波动和不规则变化理解数据的内在结构识别长期趋势和周期性模式进行更准确的预测。
2025-01-22 11:28:04
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原创 数学建模学习-小波分析(Wavelets Analysis)教程(40)
小波分析（Wavelets Analysis）是一种强大的信号处理工具，它可以在时间和频率域同时分析信号。与传统的傅里叶变换相比，小波分析具有更好的时频局部化特性，能够有效地分析非平稳信号。信号处理和去噪图像压缩和处理时间序列分析金融数据分析生物医学信号处理小波分析是一种强大的信号处理工具，它在数学建模中有着广泛的应用。小波分析的基本原理离散和连续小波变换的实现如何使用Python进行小波分析小波分析的实际应用场景本教程提供的代码和示例可以作为同学们学习和应用小波分析的参考。
2025-01-21 12:14:50
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原创 数学建模学习-相关系数分析(Correlation Analysis)教程(39) Pearson相关系数和Spearman相关系数
相关系数是统计学中用于衡量两个变量之间线性相关程度的指标。发现变量之间的关系量化变量之间的相关程度为后续建模提供依据验证模型的有效性本教程将介绍两种最常用的相关系数：Pearson相关系数和Spearman相关系数。发现数据中的关联关系为建模提供依据验证模型的合理性在实际应用中，建议：4. 结合多种相关系数5. 配合可视化分析6. 注意数据的特点7. 考虑实际背景。
2025-01-21 12:06:53
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原创 数学建模学习-图算法(Graph Algorithms)教程(38) 最短路径Dijkstra 最小生成树Prim DFS/BFS 拓扑排序
图算法是一类用于处理图(Graph)这种数据结构的算法。在图中，我们用顶点(Vertex)表示实体，用边(Edge)表示实体之间的关系。交通网络规划社交网络分析通信网络设计电路设计生物信息学最短路径算法(Dijkstra)最小生成树算法(Prim)图的遍历算法(DFS/BFS)拓扑排序算法图算法是数学建模中非常重要的一类算法，它们可以有效地解决许多实际问题。Dijkstra最短路径算法Prim最小生成树算法图的遍历算法(DFS/BFS)拓扑排序算法。
2025-01-21 12:02:34
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原创 数学建模学习-K最近邻(K-Nearest Neighbors)算法教程(37) KNN举例学习
K最近邻(K-Nearest Neighbors, KNN)算法是一种基本的分类与回归方法。该方法的思路非常简单直观：如果一个样本在特征空间中的k个最相似(即特征空间中最邻近)的样本中的大多数属于某一个类别，则该样本也属于这个类别。KNN算法的核心思想是：物以类聚，即相似的事物应该聚集在一起。在分类问题中，一个样本的类别由其最近的k个邻居的类别决定。这种方法在某种程度上体现了"少数服从多数"的投票原则。KNN算法是一种简单但有效的分类与回归方法，其简单直观的特点使其成为机器学习入门的重要算法。
2025-01-21 11:01:48
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原创 数学建模学习-径向基函数网络(Radial Basis Function Network)教程(36)
径向基函数网络（Radial Basis Function Network，简称RBF网络）是一种特殊的前馈神经网络。它使用径向基函数作为激活函数，具有优秀的函数逼近能力。RBF网络的主要特点是其隐藏层神经元使用径向基函数（通常是高斯函数）对输入进行非线性变换，而输出层则是对隐藏层输出的线性组合。输入层：接收输入数据隐藏层：使用径向基函数进行非线性变换输出层：对隐藏层的输出进行线性组合RBF网络是一种强大的函数逼近工具，其简单的结构和优秀的局部特征提取能力使其在许多实际应用中表现出色。
2025-01-21 10:56:33
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原创 数学建模学习-多目标优化(Multi-objective Optimization)教程(35) NSGA-II算法举例
多目标优化(Multi-objectiveOptimization)是数学建模中一个重要的研究方向，它处理的是同时优化多个目标函数的问题。产品设计中的成本与性能投资组合中的收益与风险机器学习中的模型复杂度与预测准确率本教程介绍一种经典的多目标优化算法-NSGA-II(Non-dominatedSortingGeneticAlgorithmII，非支配排序遗传算法II)。该算法由Deb等人于2002年提出，是目前最流行的多目标优化算法之一。"""计算目标函数值"""
2025-01-20 13:06:51
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原创 数学建模学习-自组织映射(Self-Organizing Maps)教程(34)
自组织映射(Self-OrganizingMaps,SOM)是一种无监督学习的人工神经网络，由芬兰学者TeuvoKohonen于1982年提出。SOM网络能够将高维输入数据映射到低维（通常是二维）空间，同时保持数据的拓扑结构，这使得它成为数据可视化和聚类分析的有力工具。SOM网络的主要目标是在保持数据拓扑关系的同时实现降维，这意味着在原始空间中相邻的数据点在映射后的低维空间中仍然保持相邻关系。这种特性使得SOM成为了探索和理解复杂数据集内在结构的理想工具。
2025-01-20 11:43:07
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原创 数学建模学习-期望最大化(Expectation-Maximization)算法教程(33)
期望最大化（Expectation-Maximization，简称EM）算法是一种在统计学中广泛使用的迭代算法，主要用于在概率模型中寻找参数的最大似然估计或最大后验估计。该算法在存在隐变量（或称缺失数据）的情况下特别有用。EM算法通过交替执行两个步骤来实现参数估计：期望步骤（E-step）和最大化步骤（M-step）。灵活性：可以处理各种含有隐变量的概率模型实现简单：算法步骤清晰，易于实现收敛性好：保证每次迭代后似然值不减应用广泛：在机器学习、模式识别等领域有广泛应用。
2025-01-20 10:22:43
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原创 数学建模学习-Apriori关联规则挖掘算法教程(32)
Apriori算法是一种经典的关联规则挖掘算法，主要用于发现大型数据集中项目之间的关联关系。该算法最早由Agrawal和Srikant于1994年提出，是数据挖掘领域中最具影响力的算法之一。支持度(Support)：某个项集在所有交易中出现的频率置信度(Confidence)：条件概率，表示包含项集A的交易中同时包含项集B的概率Apriori算法是一种强大的关联规则挖掘工具，通过分析大量交易数据，可以发现隐藏在数据中的有价值的关联关系。
2025-01-20 10:17:19
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原创 数学建模学习-朴素贝叶斯分类器(Naive Bayes Classifier)教程(31)
朴素贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理的简单但有效的分类算法。它是一种概率分类器，基于特征之间条件独立的假设（这就是"朴素"的由来）。尽管这个假设在实际应用中往往不成立，但朴素贝叶斯分类器在许多实际问题中仍然表现出色，特别是在文本分类和垃圾邮件过滤等领域。
2025-01-20 09:56:21
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原创 数学建模学习-谱聚类(Spectral Clustering)教程(30) 半月型数据集 同心圆数据集
谱聚类（SpectralClustering）是一种基于图论的聚类算法，它利用数据点之间的相似性来进行聚类。与传统的聚类算法（如K-means）相比，谱聚类能够识别出任意形状的簇，并且对于非凸数据集的聚类效果特别好。该算法通过将数据转换到特征空间，利用图的拉普拉斯矩阵的特征向量来降维，然后在低维空间中进行聚类。
2025-01-19 19:31:52
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原创 数学建模学习-独立成分分析(Independent Component Analysis)教程(29)
独立成分分析（IndependentComponentAnalysis，ICA）是一种统计信号处理方法，其主要目的是将混合信号分解为一组统计独立的源信号。这种方法在信号处理、特征提取和数据分析等领域有广泛应用。ICA的核心思想是找到一个变换，使得变换后的信号之间的统计独立性最大。
2025-01-19 17:04:53
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原创 数学建模学习-高斯过程回归(Gaussian Process Regression)教程(28)
高斯过程回归（GaussianProcessRegression，GPR）是一种非参数化的概率机器学习方法，它基于贝叶斯理论，用于解决回归问题。与传统的回归方法不同，GPR不仅能给出预测值，还能提供预测的不确定性估计。高斯过程可以被看作是一个随机函数的分布，它的任意有限个点的联合分布都是多维高斯分布。形式化地说，如果函数f(x)服从高斯过程，那么：m(x)是均值函数，表示先验期望k(x,x’)是核函数（协方差函数），定义了不同输入点之间的相关性提供预测的不确定性估计。
2025-01-19 15:21:35
950
原创 数学建模学习-强化学习(Reinforcement Learning)教程(27)
强化学习(ReinforcementLearning,RL)是机器学习的一个重要分支，它主要关注如何让智能体(Agent)在与环境的交互中学习最优的行为策略。与监督学习和无监督学习不同，强化学习通过"试错"的方式，让智能体从环境反馈的奖励信号中学习，逐步改进自己的行为策略。智能体(Agent)：学习和决策的主体环境(Environment)：智能体所处的外部世界状态(State)：环境在某一时刻的描述动作(Action)：智能体可以采取的行为。
2025-01-19 15:03:13
1097
原创 数学建模学习-人工神经网络(Artificial Neural Network)教程(26)
人工神经网络（ArtificialNeuralNetwork，ANN）是一种受生物神经网络启发的计算模型，它模仿了人类大脑的基本工作原理。神经网络由大量的人工神经元相互连接而成，每个神经元接收来自其他神经元的输入信号，经过处理后产生输出信号。通过调整神经元之间的连接权重，神经网络可以学习复杂的非线性映射关系，从而解决各种复杂的问题。
2025-01-19 14:58:39
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原创 数学建模学习-梯度提升(Gradient Boosting)教程(25) 与随机森林对比
梯度提升（GradientBoosting）是一种强大的机器学习算法，它通过构建一系列弱学习器（通常是决策树）来创建一个强大的预测模型。该算法的核心思想是通过迭代的方式，每次训练一个新的模型来纠正前面模型的错误。梯度提升是一种强大的集成学习算法，它通过迭代的方式不断改善模型的预测能力。学习了梯度提升的基本原理实现了一个具体的回归问题展示了如何评估和可视化模型性能讨论了算法的实际应用场景参数调优：弱学习器的数量：学习率max_depth：树的最大深度过拟合防止使用交叉验证。
2025-01-19 14:53:36
755
原创 数学建模学习-随机森林(Random Forest)教程(24)
随机森林（RandomForest）是一种集成学习方法，它通过构建多个决策树并将它们的预测结果进行组合来进行分类或回归。每棵决策树都是使用随机抽样的数据和特征训练的，这种随机性有助于减少过拟合并提高模型的泛化能力。从原始训练集中使用自助采样（Bootstrap）方法随机抽取n个样本（有放回抽样）对于每个节点，随机选择k个特征，从中选择最优的特征进行分裂重复以上步骤，生成多棵决策树对于分类问题，采用投票的方式；对于回归问题，采用平均值的方式得到最终结果。
2025-01-19 09:39:52
720
原创 数学建模学习-隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model)教程(23) HMM
隐马尔可夫模型（HiddenMarkovModel，HMM）是一种统计模型，用于描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。它是一种时序概率模型，描述一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测随机序列的过程。HMM在语音识别、自然语言处理、生物信息学等领域有广泛应用。在本教程中，我们将通过一个简单的天气预测问题来介绍HMM的基本原理和实现方法。"""初始化HMM模型A:状态转移矩阵B:观测概率矩阵pi:初始状态分布"""
2025-01-18 14:20:51
876
原创 数学建模学习-逻辑回归(Logistic Regression)教程(22)
逻辑回归（Logistic Regression）是一种常用的统计学习方法，主要用于解决分类问题。尽管其名字中带有"回归"，但它实际上是一种分类方法。逻辑回归通过建立一个逻辑函数（sigmoid函数）将线性回归模型的输出映射到[0,1]区间，从而实现二分类。逻辑回归是一个简单但强大的分类算法，特别适合二分类问题。模型简单，训练速度快可解释性强，每个特征的重要性可以通过系数大小直观理解不容易过拟合，泛化能力较好可以输出概率值，便于进行风险控制医疗诊断（疾病预测）金融风控（信用评估）
2025-01-18 11:53:02
865
原创 数学建模学习-奇异值分解(Singular Value Decomposition)教程(21)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中最重要的矩阵分解方法之一。它可以将任意矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积：一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和另一个正交矩阵V的转置。SVD在数据压缩、降维、推荐系统等领域有着广泛的应用。
2025-01-18 10:31:36
638
原创 数学建模学习-支持向量机(Support Vector Machine)教程(19)
支持向量机(SupportVectorMachine,SVM)是一种强大的监督学习算法，主要用于分类问题。它通过在高维空间中构建一个超平面或一组超平面，将不同类别的数据点分开。SVM的核心思想是找到最优的分隔超平面，使得不同类别的数据点之间的间隔最大化。优势SVM在高维空间中表现出色内存效率高，因为只使用支持向量进行决策通过不同的核函数可以处理各种类型的分类问题理论基础扎实，有很好的泛化性能局限性对大规模数据集计算开销较大核函数的选择需要经验和多次尝试。
2025-01-18 09:05:00
674
原创 数学建模学习-决策树(Decision Tree)教程(20)
决策树是一种基于树结构的监督学习算法，它通过一系列问题将数据集划分为不同的子集，最终得到一个能够对新数据进行分类或回归预测的模型。决策树的结构类似于流程图，从根节点开始，通过不同的分支到达叶节点，每个叶节点代表一个预测结果。决策树的基本原理是通过信息增益（InformationGain）、基尼指数（GiniIndex）或其他指标来选择最优的特征和分割点，将数据集划分为更纯净的子集。这个过程递归进行，直到达到停止条件（如最大深度、最小样本数等）。特征选择选择与目标变量相关性强的特征避免使用冗余特征。
2025-01-18 09:02:00
950
原创 数学建模学习-卡尔曼滤波(Kalman Filter)教程(18)
卡尔曼滤波（KalmanFilter）是一种递归的状态估计算法，由RudolfE.Kálmán于1960年提出。它能够从包含噪声的观测数据中估计动态系统的状态。卡尔曼滤波器通过将预测步骤和更新步骤结合，实现了对系统状态的最优估计。该算法在工程领域有着广泛的应用，从导航系统到机器人定位，从金融市场预测到信号处理，都能看到卡尔曼滤波的身影。它的核心思想是：通过对系统的数学模型和测量数据的综合利用，得到对系统状态的最优估计。
2025-01-17 14:24:18
1050
原创 数学建模学习-贝叶斯网络(Bayesian Network)教程(17)
贝叶斯网络（Bayesian Network）是一种概率图模型，它通过有向无环图（DAG）来表示一组随机变量之间的条件依赖关系。每个节点代表一个随机变量，节点之间的箭头表示变量之间的依赖关系。贝叶斯网络不仅能够直观地展示变量间的因果关系，还能够进行概率推理，是一种强大的不确定性推理工具。
2025-01-17 14:08:19
1029
原创 数学建模学习-模糊逻辑(Fuzzy Logic)教程(16)
模糊逻辑（Fuzzy Logic）是一种基于"模糊集合论"的数学方法，它可以处理现实世界中的不确定性和模糊性。与传统的布尔逻辑（非真即假）不同，模糊逻辑允许真值在0到1之间连续变化，这使得它能够更好地模拟人类的思维方式和决策过程。模糊逻辑的核心思想是通过定义模糊集合和模糊规则，将不精确的输入转换为精确的输出。这种方法特别适用于控制系统、决策支持系统和模式识别等领域。# 定义模糊集合# 定义模糊规则# 创建控制系统模糊逻辑是一种强大的数学工具，特别适合处理现实世界中的不确定性和模糊性问题。
2025-01-17 13:09:33
836
原创 数学建模学习-灰色系统理论(Grey System Theory)教程(15)
灰色系统理论是邓聚龙教授于1982年首次提出的一种处理不确定性系统的方法。该理论主要用于处理部分信息已知、部分信息未知的"小样本"、"贫信息"不确定性系统。灰色系统理论中最常用的模型是GM(1,1)模型，其中第一个"1"表示模型的阶数，第二个"1"表示变量的个数。GM(1,1)模型的基本思想是通过对原始数据序列进行累加生成（AGO）来减弱数据的随机性，使其具有较强的规律性，然后建立微分方程模型进行预测，最后通过累减还原得到预测结果。"""初始化GM(1,1)模型:param data: 原始数据序列。
2025-01-17 12:07:40
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原创 数学建模学习-马尔可夫链(Markov Chain)教程(14)
马尔可夫链（Markov Chain）是一种随机过程，其特点是下一个状态的概率分布只依赖于当前状态，而与之前的状态无关。这种"无记忆"的特性使其成为建模和分析随机系统的强大工具。马尔可夫链广泛应用于天气预测、金融市场分析、生物序列分析等多个领域。
2025-01-17 11:33:37
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原创 数学建模学习-聚类分析(Cluster Analysis)教程(13) K-means 层次聚类 聚类分析
聚类分析是一种无监督学习方法，其主要目的是将相似的对象分组到同一个簇中，而将不相似的对象分到不同簇中。在数学建模中，聚类分析常用于发现数据中的内在结构和模式，帮助我们理解数据的分布特征。K-means聚类：基于距离的划分聚类方法层次聚类：基于层次分解的聚类方法本项目实现了两种常用的聚类算法：K-means聚类和层次聚类，并对其进行了可视化和评估。数据生成：使用make_blobs生成用于聚类分析的模拟数据K-means聚类：实现基本的K-means聚类算法可视化聚类结果。
2025-01-17 11:22:41
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原创 数学建模学习-主成分分析(Principal Component Analysis)教程(12)
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的数据降维和特征提取方法。它通过线性变换将原始数据投影到一个新的坐标系统中，使得数据在新坐标系下的方差最大化，同时保持数据的主要特征。PCA的主要目标是找到数据中的主要模式，并减少数据的维度，同时尽可能保留原始数据的信息。有效减少数据维度，降低计算复杂度去除数据中的冗余信息保留数据中最重要的特征帮助可视化高维数据图像压缩特征提取数据预处理降噪数据可视化。
2025-01-17 11:10:59
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