数学建模学习-傅里叶分析(Fourier Analysis)教程(43)

最新推荐文章于 2025-04-02 09:53:55 发布

FFMXjy

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分类专栏：数学建模学习-传统算法、机器学习、深度学习系列课程文章标签：数学建模学习傅立叶分析

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数学建模学习-傅里叶分析(Fourier Analysis)教程(43)

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注意本文的相关代码及例子为同学们提供参考，借鉴相关结构，在这里举一些通俗易懂的例子，方便同学们根据实际情况修改代码，很多同学私信反映能否添加一些可视化，这里每篇教程都尽可能增加一些可视化方便同学理解，但具体使用时，同学们要根据实际情况选择是否在论文中添加可视化图片。

系列教程计划持续更新，同学们可以免费订阅专栏，内容充足后专栏可能付费，提前订阅的同学可以免费阅读，同时相关代码获取可以关注博主评论或私信。

一、算法简介

傅里叶分析（Fourier Analysis）是一种将复杂信号分解为简单周期函数（正弦和余弦函数）之和的数学方法。这种方法在信号处理、数据分析和科学计算中有着广泛的应用。傅里叶分析的核心思想是：任何周期信号都可以表示为不同频率的正弦波的叠加。

主要组成部分：

傅里叶变换（Fourier Transform）
频谱分析（Spectrum Analysis）
信号重构（Signal Reconstruction）
滤波处理（Filtering）

二、算法特点

变换特性：
- 线性性
- 时移性质
- 频移性质
- 对偶性质
分析能力：
- 可分解复杂信号
- 揭示频率特征
- 识别周期模式
应用优势：
- 信号去噪
- 特征提取
- 数据压缩
局限性：
- 计算复杂度较高
- 需要合适的采样率
- 边界效应影响

三、环境准备

本教程需要以下Python库：

numpy>=1.21.0
matplotlib>=3.4.0
scipy>=1.7.0
seaborn>=0.11.0

安装依赖：

pip install -r requirements.txt

四、代码实现

4.1 信号生成

首先，我们生成一个包含多个频率成分的示例信号：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.fft import fft, fftfreq, ifft
import seaborn as sns

# 生成示例信号
t = np.linspace(0, 1, 1000)  # 1秒，1000个采样点
f1, f2, f3 = 5, 10, 20  # 三个不同频率
signal = (np.sin(2 * np.pi * f1 * t) + 
         0.5 * np.sin(2 * np.pi * f2 * t) + 
         0.3 * np.sin(2 * np.pi * f3 * t))

# 添加噪声
np.random.seed(42)
noise = np.random.normal(0, 0.2, len(t))
noisy_signal = signal + noise

4.2 信号可视化

绘制原始信号和带噪声信号：

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, signal, label='原始信号')
plt.title('原始信号')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, noisy_signal, label='带噪声信号')
plt.title('带噪声信号')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('images/original_signals.png')
plt.close()

[外链图片转存中…(img-E00CGokJ-1737620099585)] 在这里插入图片描述

4.3 傅里叶变换

进行傅里叶变换并绘制频谱：

# 进行傅里叶变换
yf = fft(noisy_signal)
xf = fftfreq(len(t), t[1] - t[0])

# 绘制频谱
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(xf[:len(xf)//2], 2.0/len(t) * np.abs(yf[:len(xf)//2]))
plt.title('信号频谱')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.savefig('images/frequency_spectrum.png')
plt.close()

[外链图片转存中…(img-E2kXOMWV-1737620113367)] 在这里插入图片描述

4.4 频域滤波

使用频域滤波去除噪声：

# 频域滤波
yf_clean = yf.copy()
threshold = 0.1 * np.max(np.abs(yf))
yf_clean[np.abs(yf) < threshold] = 0

# 反傅里叶变换
filtered_signal = np.real(ifft(yf_clean))

# 绘制滤波结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, noisy_signal, label='带噪声信号')
plt.title('带噪声信号')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, filtered_signal, label='滤波后信号')
plt.title('滤波后信号')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.ylabel('幅度')
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('images/filtered_signals.png')
plt.close()

[外链图片转存中…(img-Esl5t5Gq-1737620131321)] 在这里插入图片描述

4.5 频率成分分析

分析信号的不同频率成分：

frequencies = [f1, f2, f3]
components = []

for f in frequencies:
    component = np.sin(2 * np.pi * f * t)
    components.append(component)

plt.figure(figsize=(12, 8))
for i, (f, comp) in enumerate(zip(frequencies, components), 1):
    plt.subplot(3, 1, i)
    plt.plot(t, comp)
    plt.title(f'频率 {f} Hz 的分量')
    plt.xlabel('时间 (秒)')
    plt.ylabel('幅度')
    plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.savefig('images/frequency_components.png')
plt.close()

在这里插入图片描述

4.6 时频分析

使用短时傅里叶变换进行时频分析：

from scipy import signal as sg

f, t_spec, Zxx = sg.stft(noisy_signal, fs=1/(t[1]-t[0]), nperseg=100)

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.pcolormesh(t_spec, f, np.abs(Zxx), shading='gouraud')
plt.title('时频谱图')
plt.ylabel('频率 (Hz)')
plt.xlabel('时间 (秒)')
plt.colorbar(label='幅度')
plt.tight_layout()
plt.savefig('images/spectrogram.png')
plt.close()