数学建模学习-排队论(Queueing Theory)教程(49)

最新推荐文章于 2025-04-02 09:53:55 发布

FFMXjy

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数学建模学习-排队论(Queueing Theory)教程(49)

写在最前

注意本文的相关代码及例子为同学们提供参考，借鉴相关结构，在这里举一些通俗易懂的例子，方便同学们根据实际情况修改代码，很多同学私信反映能否添加一些可视化，这里每篇教程都尽可能增加一些可视化方便同学理解，但具体使用时，同学们要根据实际情况选择是否在论文中添加可视化图片。

系列教程计划持续更新，同学们可以免费订阅专栏，内容充足后专栏可能付费，提前订阅的同学可以免费阅读，同时相关代码获取可以关注博主评论或私信。

一、排队论简介

排队论(Queueing Theory)是研究排队系统中随机服务过程的数学理论和方法。它主要研究顾客到达、等待、接受服务和离开系统的随机过程，用于分析和优化服务系统的性能。

排队系统通常包含以下几个基本要素：

输入过程：描述顾客到达系统的随机过程
排队规则：描述顾客等待服务的方式
服务机制：描述服务设施的数量和服务方式
服务时间：描述每个顾客接受服务所需时间的随机变量

二、排队论的基本概念

1. 肯德尔符号(Kendall Notation)

排队系统通常用肯德尔符号A/B/C/K/N/D来描述：

A：到达过程的分布
B：服务时间的分布
C：服务台数量
K：系统容量
N：客源容量
D：服务规则

常见的分布符号：

M：指数分布(Markovian)
D：确定性分布(Deterministic)
Ek：k阶爱尔朗分布(Erlang-k)
G：一般分布(General)

2. 主要性能指标

平均等待时间(Average Waiting Time)
平均队长(Average Queue Length)
系统利用率(System Utilization)
服务水平(Service Level)

三、环境准备

本教程使用Python实现排队论模型，需要安装以下包：

numpy>=1.21.0
matplotlib>=3.4.0
simpy>=4.0.0
pandas>=1.3.0

四、代码实现

我们以银行柜台服务为例，实现一个M/M/c排队系统的仿真模型。

1. 模型定义

class Bank:
    def __init__(self, env, num_tellers):
        self.env = env
        self.teller = simpy.Resource(env, num_tellers)
        self.waiting_times = []
        
    def customer(self, name):
        # 记录到达时间
        arrival_time = self.env.now
        
        # 请求柜员服务
        with self.teller.request() as request:
            yield request
            
            # 计算等待时间
            waiting_time = self.env.now - arrival_time
            self.waiting_times.append(waiting_time)
            
            # 服务时间服从正态分布
            service_time = max(np.random.normal(10, 2), 1)
            yield self.env.timeout(service_time)

2. 客户生成器

def customer_generator(env, bank):
    # 生成客户，到达时间间隔服从指数分布
    for i in range(100):
        yield env.timeout(np.random.exponential(5))
        env.process(bank.customer(f'Customer {i}'))

3. 仿真运行

def run_simulation(num_tellers):
    # 创建仿真环境
    env = simpy.Environment()
    bank = Bank(env, num_tellers)
    
    # 启动客户生成器
    env.process(customer_generator(env, bank))
    
    # 运行仿真
    env.run(until=500)
    
    return bank.waiting_times

4. 结果可视化

def plot_results(waiting_times_list, teller_numbers):
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.boxplot(waiting_times_list, labels=[f'{n} Tellers' for n in teller_numbers])
    plt.title('等待时间分布 - 不同数量柜员')
    plt.ylabel('等待时间 (分钟)')
    plt.xlabel('柜员数量')
    plt.grid(True)
    plt.savefig('images/waiting_times.png')
    plt.close()
    
    # 计算平均等待时间和标准差
    stats = []
    for times, n in zip(waiting_times_list, teller_numbers):
        stats.append({
            '柜员数量': n,
            '平均等待时间': np.mean(times),
            '等待时间标准差': np.std(times),
            '最大等待时间': np.max(times)
        })
    
    df = pd.DataFrame(stats)
    print("\n排队系统性能指标:")
    print(df.round(2))
    
    # 绘制平均等待时间曲线
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.plot(df['柜员数量'], df['平均等待时间'], 'bo-')
    plt.title('平均等待时间 vs 柜员数量')
    plt.xlabel('柜员数量')
    plt.ylabel('平均等待时间 (分钟)')
    plt.grid(True)
    plt.savefig('images/avg_waiting_time.png')
    plt.close()

五、运行示例

if __name__ == '__main__':
    # 模拟不同数量柜员的情况
    teller_numbers = [1, 2, 3, 4, 5]
    waiting_times_list = []
    
    for n in teller_numbers:
        print(f"\n运行仿真: {n} 个柜员")
        waiting_times = run_simulation(n)
        waiting_times_list.append(waiting_times)
    
    # 绘制结果
    plot_results(waiting_times_list, teller_numbers)