数学建模学习-灰色系统理论(Grey System Theory)教程(15)

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分类专栏：数学建模学习-传统算法、机器学习、深度学习系列课程文章标签：数学建模学习

于 2025-01-17 12:07:40 首次发布

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数学建模学习-灰色系统理论(Grey System Theory)教程(15)

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算法简介

灰色系统理论是邓聚龙教授于1982年首次提出的一种处理不确定性系统的方法。该理论主要用于处理部分信息已知、部分信息未知的"小样本"、"贫信息"不确定性系统。灰色系统理论中最常用的模型是GM(1,1)模型，其中第一个"1"表示模型的阶数，第二个"1"表示变量的个数。

GM(1,1)模型的基本思想是通过对原始数据序列进行累加生成（AGO）来减弱数据的随机性，使其具有较强的规律性，然后建立微分方程模型进行预测，最后通过累减还原得到预测结果。

算法特点

适用于小样本预测：只需要4个以上的数据点即可建模。
处理不确定性：能够处理部分信息未知的系统。
建模简单：不需要考虑数据的概率分布。
计算量小：相比其他预测方法计算效率高。
适用范围广：可用于时间序列预测、系统分析等多个领域。

理论基础

1. 灰色系统的基本概念

灰色系统理论将信息完全已知的系统称为白色系统，信息完全未知的系统称为黑色系统，而介于两者之间的系统称为灰色系统。在现实世界中，大多数系统都是灰色系统。

2. 灰色生成

灰色生成是灰色系统理论的核心概念之一，主要包括：

累加生成（AGO）：通过累加减弱数据的随机性
累减生成（IAGO）：AGO的逆运算，用于还原预测结果
紧邻均值生成：用于构建灰色微分方程

3. 灰色预测

灰色预测的基本思想是通过已知信息序列的累加生成来寻找系统发展的规律，主要特点包括：

不需要大量样本
不要求数据服从特定分布
计算简单，精度较高

数学原理

1. GM(1,1)模型的数学推导

设原始数据序列为：
$X^{(0)} = (x^{(0)}(1), x^{(0)}(2), ..., x^{(0)}(n))$

1.1 一次累加生成（AGO）

对原始序列进行一次累加：
$X^{(1)} = (x^{(1)}(1), x^{(1)}(2), ..., x^{(1)}(n))$
其中：
$x^{(1)}(k) = \sum_{i=1}^k x^{(0)}(i), k = 1,2,...,n$

1.2 紧邻均值生成

计算 $X^{(1)}$ 的紧邻均值序列：
$Z^{(1)} = (z^{(1)}(2), z^{(1)}(3), ..., z^{(1)}(n))$
其中：
$z^{(1)}(k) = 0.5(x^{(1)}(k) + x^{(1)}(k-1)), k = 2,3,...,n$

1.3 灰色微分方程

GM(1,1)模型的基本形式为：
$x^{(0)}(k) + az^{(1)}(k) = b$
其中， $a$ 为发展系数， $b$ 为灰作用量。

对应的白化微分方程为：
$\frac{dx^{(1)}}{dt} + ax^{(1)} = b$

1.4 参数估计

使用最小二乘法求解参数：
$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = (B^TB)^{-1}B^TY$

其中：
$\begin{bmatrix} -z^{(1)}(2) & 1 \\ -z^{(1)}(3) & 1 \\ \vdots & \vdots \\ -z^{(1)}(n) & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x^{(0)}(2) \\ x^{(0)}(3) \\ \vdots \\ x^{(0)}(n) \end{bmatrix}$

1.5 时间响应函数

求解白化微分方程得到时间响应函数：
$\hat{x}^{(1)}(k) = (x^{(0)}(1) - \frac{b}{a})e^{-a(k-1)} + \frac{b}{a}$

1.6 预测值还原

通过累减还原得到预测值：
$\hat{x}^{(0)}(k) = \hat{x}^{(1)}(k) - \hat{x}^{(1)}(k-1)$

环境准备

本教程需要以下Python库：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from scipy.optimize import curve_fit

代码实现

1. GM(1,1)模型类定义

class GM11:
    def __init__(self, data):
        """
        初始化GM(1,1)模型
        :param data: 原始数据序列
        """
        self.raw_data = np.array(data)
        self.n = len(data)
        self.ago_data = None  # 一次累加生成序列
        self.z_data = None    # 紧邻均值生成序列
        self.a = None         # 发展系数
        self.b = None         # 灰作用量
        self.fitted = None    # 拟合值
        self.residuals = None # 残差
        self.relative_errors = None  # 相对误差

2. 累加生成和均值生成

def ago(self):
    """一次累加生成"""
    self.ago_data = np.cumsum(self.raw_data)
    return self.ago_data

def z_mean(self):
    """计算紧邻均值生成序列"""
    self.z_data = 0.5 * (self.ago_data[1:] + self.ago_data[:-1])
    return self.z_data

3. 模型拟合

def fit(self):
    """拟合GM(1,1)模型"""
    self.ago()
    self.z_mean()
    
    # 构建B矩阵和Y矩阵
    B = np.vstack([-self.z_data, np.ones(self.n-1)]).T
    Y = self.raw_data[1:]
    
    # 使用最小二乘法求解参数
    params = np.linalg.inv(B.T @ B) @ B.T @ Y
    self.a, self.b = params
    
    # 计算预测值
    self.fitted = np.zeros(self.n)
    self.fitted[0] = self.raw_data[0]
    for k in range(1, self.n):
        self.fitted[k] = (self.raw_data[0] - self.b/self.a) * (1 - np.exp(self.a)) * np.exp(-self.a * (k))
    
    # 计算残差和相对误差
    self.residuals = self.raw_data - self.fitted
    self.relative_errors = np.abs(self.residuals / self.raw_data)
    
    return self.fitted

4. 预测未来值

def predict(self, steps=1):
    """预测未来值"""
    k = np.arange(self.n, self.n + steps)
    predictions = (self.raw_data[0] - self.b/self.a) * (1 - np.exp(self.a)) * np.exp(-self.a * k)
    return predictions

实例分析

我们以某地区2015-2020年的GDP数据为例，使用GM(1,1)模型进行拟合和预测：

# 示例数据：某地区2015-2020年GDP数据（单位：亿元）
gdp_data = [1200, 1350, 1480, 1650, 1850, 2100]

# 创建并拟合GM(1,1)模型
model = GM11(gdp_data)
fitted_values = model.fit()

# 预测未来两年的GDP
predictions = model.predict(2)