数学建模学习-小波分析(Wavelets Analysis)教程(40)

最新推荐文章于 2025-02-20 15:59:45 发布

FFMXjy

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分类专栏：数学建模学习-传统算法、机器学习、深度学习系列课程文章标签：数学建模学习

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数学建模学习-小波分析(Wavelets Analysis)教程(40)

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注意本文的相关代码及例子为同学们提供参考，借鉴相关结构，在这里举一些通俗易懂的例子，方便同学们根据实际情况修改代码，很多同学私信反映能否添加一些可视化，这里每篇教程都尽可能增加一些可视化方便同学理解，但具体使用时，同学们要根据实际情况选择是否在论文中添加可视化图片。

系列教程计划持续更新，同学们可以免费订阅专栏，内容充足后专栏可能付费，提前订阅的同学可以免费阅读，同时相关代码获取可以关注博主评论或私信。

一、小波分析简介

小波分析（Wavelets Analysis）是一种强大的信号处理工具，它可以在时间和频率域同时分析信号。与传统的傅里叶变换相比，小波分析具有更好的时频局部化特性，能够有效地分析非平稳信号。小波分析在数学建模中有着广泛的应用，特别是在以下领域：

信号处理和去噪
图像压缩和处理
时间序列分析
金融数据分析
生物医学信号处理

二、小波分析的基本原理

2.1 小波变换的数学基础

小波变换的基本思想是使用一组基函数（小波基）来表示信号。小波变换可以表示为：

$W_{\psi}f(a,b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\psi^*(\frac{t-b}{a})dt$

其中：

$f (t)$ 是待分析的信号
$\psi(t)$ 是母小波函数
$a$ 是尺度参数（控制频率）
$b$ 是平移参数（控制时间位置）
$W_{\psi}f(a,b)$ 是小波系数

2.2 小波变换的类型

连续小波变换（CWT）：
- 尺度参数和平移参数连续变化
- 提供最详细的时频分析
- 计算量较大
离散小波变换（DWT）：
- 尺度和平移参数离散化
- 计算效率高
- 适合实际应用

三、环境准备

在开始之前，我们需要安装必要的Python库：

numpy>=1.21.0
matplotlib>=3.4.0
pywavelets>=1.1.1
scipy>=1.7.0

可以使用pip安装：

pip install -r requirements.txt

四、代码实现

4.1 生成测试信号

首先，我们生成一个包含两个不同频率成分的测试信号：

def generate_test_signal(t):
    """生成测试信号：包含两个不同频率的正弦波"""
    # 生成两个频率分量
    s1 = np.sin(2 * np.pi * 10 * t)  # 10Hz的正弦波
    s2 = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 50 * t)  # 50Hz的正弦波
    # 在不同时间段使用不同的频率
    signal = np.zeros_like(t)
    signal[:len(t)//2] = s1[:len(t)//2]
    signal[len(t)//2:] = s2[len(t)//2:]
    return signal

4.2 离散小波变换分析

实现离散小波变换的多层分解：

def plot_wavelet_analysis(signal, sampling_rate, wavelet='db4', level=4):
    """进行小波分析并绘制结果"""
    # 小波分解
    coeffs = pywt.wavedec(signal, wavelet, level=level)
    
    # 创建时间轴
    t = np.arange(len(signal)) / sampling_rate
    
    # 绘制原始信号和各层分解结果
    fig, axes = plt.subplots(level + 2, 1, figsize=(10, 12))
    fig.suptitle('小波分析结果展示', fontsize=16)
    
    # 绘制原始信号
    axes[0].plot(t, signal)
    axes[0].set_title('原始信号')
    axes[0].set_xlabel('时间 (秒)')
    axes[0].set_ylabel('幅度')
    
    # 绘制近似系数
    approx = coeffs[0]
    t_approx = np.linspace(0, t[-1], len(approx))
    axes[1].plot(t_approx, approx)
    axes[1].set_title(f'近似系数 (level {level})')
    axes[1].set_xlabel('时间 (秒)')
    axes[1].set_ylabel('幅度')
    
    # 绘制细节系数
    for i, detail in enumerate(coeffs[1:], 2):
        t_detail = np.linspace(0, t[-1], len(detail))
        axes[i].plot(t_detail, detail)
        axes[i].set_title(f'细节系数 (level {level-i+2})')
        axes[i].set_xlabel('时间 (秒)')
        axes[i].set_ylabel('幅度')

4.3 连续小波变换分析

实现连续小波变换并绘制时频图：

def plot_continuous_wavelet(signal, sampling_rate):
    """进行连续小波变换并绘制结果"""
    # 创建时间轴
    t = np.arange(len(signal)) / sampling_rate
    
    # 执行连续小波变换
    scales = np.arange(1, 128)
    coef, freqs = pywt.cwt(signal, scales, 'morl', sampling_period=1/sampling_rate)
    
    # 绘制结果
    plt.figure(figsize=(10, 8))
    plt.imshow(abs(coef), extent=[t[0], t[-1], freqs[-1], freqs[0]], 
                aspect='auto', cmap='jet')
    plt.colorbar(label='幅度')
    plt.ylabel('频率 (Hz)')
    plt.xlabel('时间 (秒)')
    plt.title('连续小波变换时频图')