数学建模学习-混沌理论(Chaos Theory)教程(42)

FFMXjy

于 2025-01-22 11:55:11 发布

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分类专栏：数学建模学习-传统算法、机器学习、深度学习系列课程文章标签：数学建模学习

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数学建模学习-混沌理论(Chaos Theory)教程(42)

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注意本文的相关代码及例子为同学们提供参考，借鉴相关结构，在这里举一些通俗易懂的例子，方便同学们根据实际情况修改代码，很多同学私信反映能否添加一些可视化，这里每篇教程都尽可能增加一些可视化方便同学理解，但具体使用时，同学们要根据实际情况选择是否在论文中添加可视化图片。

系列教程计划持续更新，同学们可以免费订阅专栏，内容充足后专栏可能付费，提前订阅的同学可以免费阅读，同时相关代码获取可以关注博主评论或私信。

一、算法简介

混沌理论（Chaos Theory）是研究复杂系统动力学行为的重要理论，它主要关注那些看似随机但实际上具有确定性的系统。这种系统对初始条件极其敏感，即使很小的变化也会导致完全不同的结果，这就是著名的"蝴蝶效应"。

主要特征：

对初始条件的敏感依赖性
轨道的不可预测性
分形结构
奇异吸引子的存在

二、算法特点

确定性：
- 系统由确定性方程描述
- 行为完全由初始条件决定
不可预测性：
- 长期行为难以准确预测
- 对初始条件高度敏感
有界性：
- 系统轨道在有限区域内运动
- 形成特定的吸引子结构
非周期性：
- 轨道永不重复
- 呈现复杂的动力学行为

三、环境准备

本教程需要以下Python库：

numpy>=1.21.0
matplotlib>=3.4.0
scipy>=1.7.0

安装依赖：

pip install -r requirements.txt

四、代码实现

4.1 洛伦兹系统

洛伦兹系统是最著名的混沌系统之一，由以下微分方程描述：

def lorenz(state, t, sigma, rho, beta):
    """洛伦兹系统的微分方程"""
    x, y, z = state
    dx = sigma * (y - x)
    dy = x * (rho - z) - y
    dz = x * y - beta * z
    return [dx, dy, dz]

# 设置参数
sigma = 10
rho = 28
beta = 8/3

# 设置初始条件和时间序列
state0 = [1.0, 1.0, 1.0]
t = np.linspace(0, 100, 10000)

# 求解微分方程
states = odeint(lorenz, state0, t, args=(sigma, rho, beta))

4.2 时间序列分析

绘制洛伦兹系统的时间序列：

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(t, states[:, 0], label='x(t)')
plt.title('洛伦兹系统的时间序列')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('x 坐标')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.savefig('images/lorenz_time_series.png')
plt.close()

[外链图片转存中…(img-R2BY9ZXd-1737518007384)] 在这里插入图片描述

4.3 相空间分析

绘制洛伦兹吸引子：

fig = plt.figure(figsize=(12, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(states[:, 0], states[:, 1], states[:, 2])
ax.set_title('洛伦兹吸引子')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
plt.tight_layout()
plt.savefig('images/lorenz_attractor.png')
plt.close()

[外链图片转存中…(img-KKYlHkp4-1737518019638)] 在这里插入图片描述

4.4 初值敏感性分析

分析系统对初始条件的敏感依赖性：

state0_perturbed = [1.001, 1.0, 1.0]  # 略微改变初始条件
states_perturbed = odeint(lorenz, state0_perturbed, t, args=(sigma, rho, beta))

# 计算轨迹差异
differences = np.sqrt(np.sum((states - states_perturbed)**2, axis=1))

plt.figure(figsize=(12, 6))
 plt.plot(t, differences)
plt.title('初值敏感性分析')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('轨迹差异')
plt.yscale('log')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.savefig('images/sensitivity_analysis.png')
plt.close()

[外链图片转存中…(img-KhcuX3RS-1737518033834)] 在这里插入图片描述

4.5 分岔分析

研究Logistic映射的分岔现象：

rho_range = np.linspace(0, 50, 1000)
n_iterations = 1000
x_values = []

for r in rho_range:
    x = 0.5
    for i in range(n_iterations):
        x = r * x * (1 - x)
        if i > 100:  # 只记录稳定后的值
            x_values.append([r, x])

x_values = np.array(x_values)

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(x_values[:, 0], x_values[:, 1], ',k', alpha=0.1)
plt.title('Logistic映射的分岔图')
plt.xlabel('参数 r')
plt.ylabel('x 值')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.savefig('images/bifurcation_diagram.png')
plt.close()

[外链图片转存中…(img-XwFCktCb-1737518050482)] 在这里插入图片描述

4.6 李雅普诺夫指数分析

计算并绘制李雅普诺夫指数：

def lyapunov_exponent(x0, n_iterations, r):
    """计算一维映射的李雅普诺夫指数"""
    x = x0
    lyap = 0.0
    for i in range(n_iterations):
        x_new = r * x * (1 - x)
        lyap += np.log(abs(r * (1 - 2*x)))
        x = x_new
    return lyap / n_iterations

r_values = np.linspace(2.5, 4.0, 100)
lyap_values = [lyapunov_exponent(0.5, 1000, r) for r in r_values]

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(r_values, lyap_values)
plt.axhline(y=0, color='r', linestyle='--')
plt.title('Logistic映射的李雅普诺夫指数')
plt.xlabel('参数 r')
plt.ylabel('李雅普诺夫指数')
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.savefig('images/lyapunov_exponent.png')
plt.close()