本文介绍了如何通过链式法则和矩阵公式法求解多元复合函数的一阶和二阶偏导，包括雅可比矩阵和海森矩阵的概念，以及在特定函数形式（如线性复合）下的应用实例。
多元抽象复合函数求二阶偏导
一、多元复合函数
- 形如 f(x+y+z,xyz)f(x+y+z,xyz)f(x+y+z,xyz) 的函数
二、求导策略
- 一阶偏导求解的核心策略是：链式法则（最好用！）
- 二阶偏导求解的核心策略是：矩阵公式法
三、雅可比矩阵与海森矩阵
01 雅可比矩阵与海森矩阵的概念
现有多元函数组 f1(x1,x2,⋯ ,xn) , f2(x1,x2,⋯ ,xn) ,⋯ , fm(x1,x2,⋯ ,xn)\mathrm{f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\ ,\ f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)\ ,\cdots\ ,\ f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)}f1(x1,x2,⋯,xn) , f2(x1,x2,⋯,xn) ,⋯ , fm(x1,x2,⋯,xn)，
那么其雅可比矩阵如下所示，它储存了该函数组所有一阶偏导数的信息
J=[∂f1∂x1∂f1∂x2⋯∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2⋯∂f2∂xn⋮⋮⋱⋮∂fm∂x1∂fm∂x2⋯∂fm∂xn]
\mathrm{
J=
\left[\begin{array}{cccc}
\displaystyle{ \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} } & \displaystyle{ \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} } \\
\displaystyle{ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} } & \displaystyle{ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\displaystyle{ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} } & \displaystyle{ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} } \\
\end{array}\right]
}
J=∂x1∂f1∂x1∂f2⋮∂x1∂fm∂x2∂f1∂x2∂f2⋮∂x2∂fm⋯⋯⋱⋯∂xn∂f1∂xn∂f2⋮∂xn∂fm
我们可以观察到，它满足同一行(hang)同一函数(han)，同一列(lie)同一自变量(liang)的规律
当多元函数组退化为一个多元函数时，其表示成
J=[∂f∂x1 , ∂f∂x2 , ⋯ , ∂f∂xn]
\mathrm{
J=
\left[\begin{array}{cccc}
\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_{1}} } \ ,\ \displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_{2}} } \ ,\ \cdots \ ,\ \displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_{n}} }
\end{array}\right]
}
J=[∂x1∂f , ∂x2∂f , ⋯ , ∂xn∂f]
此时这个多元函数的海森矩阵如下所示，它储存了这个多元函数所有二阶偏导数的信息
H=[∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2⋯∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂x1∂2f∂x22⋯∂2f∂x2∂xn⋮⋮⋱⋮∂2f∂xn∂x1∂2f∂xn∂x2⋯∂2f∂xn2]
\mathrm{
H=
\left[\begin{array}{cccc}
\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} } & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} } \\
\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} } & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} } & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} } \\
\end{array}\right]
}
H=∂x12∂2f∂x2∂x1∂2f⋮∂xn∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22∂2f⋮∂xn∂x2∂2f⋯⋯⋱⋯∂x1∂xn∂2f∂x2∂xn∂2f⋮∂xn2∂2f
显然，当多元函数 f\mathrm{f}f 二阶偏导数连续时，海森矩阵为实对称矩阵
02 不同情况下雅可比行列式的形式
当多元函数组由两个二元函数 { u(x,y)=0 v(x,y)=0\mathrm{\begin{cases}\ u(x,y)=0 \\ \ v(x,y)=0 \end{cases}}{ u(x,y)=0 v(x,y)=0 组成时，我们可以把它写成
J=[∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y]
\mathrm{
J=
\left[\begin{array}{cccc}
\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} } & \displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y} } \\
\displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial x} } & \displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial y} }
\end{array}\right]
}
J=∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v
当多元函数组由三个二元函数 { u(x,y)=0 v(x,y)=0 w(x,y)=0\mathrm{\begin{cases}\ u(x,y)=0 \\ \ v(x,y)=0\\ \ w(x,y)=0 \end{cases}}⎩⎨⎧ u(x,y)=0 v(x,y)=0 w(x,y)=0 组成时，我们可以把它写成
J=[∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y∂w∂x∂w∂y]
\mathrm{
J=
\left[\begin{array}{cccc}
\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} } & \displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y} } \\
\displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial x} } & \displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial y} } \\
\displaystyle{ \frac{\partial w}{\partial x} } & \displaystyle{ \frac{\partial w}{\partial y} }
\end{array}\right]
}
J=∂x∂u∂x∂v∂x∂w∂y∂u∂y∂v∂y∂w
03 不同情况下海森矩阵的形式
当函数为 f(x,y)=0f(x,y)=0f(x,y)=0 时，海森矩阵表达为：
H=[fxx′′fxy′′fyx′′fyy′′]
\mathrm{
H=
\left[\begin{array}{cccc}
f''_{xx} & f''_{xy}\\
f''_{yx} & f''_{yy}
\end{array}\right]
}
H=[fxx′′fyx′′fxy′′fyy′′]
当函数为 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 时，海森矩阵表达为：
H=[Fxx′′Fxy′′Fxz′′Fyx′′Fyy′′Fyz′′Fzx′′Fzy′′Fzz′′]
\mathrm{
H=
\left[\begin{array}{cccc}
F''_{xx} & F''_{xy} & F''_{xz}\\
F''_{yx} & F''_{yy} & F''_{yz}\\
F''_{zx} & F''_{zy} & F''_{zz}
\end{array}\right]
}
H=Fxx′′Fyx′′Fzx′′Fxy′′Fyy′′Fzy′′Fxz′′Fyz′′Fzz′′
四、矩阵公式法
四、矩阵公式法
01 定理内容
(1) 一般的偏导数求解
- 若函数 u=f(x1,x2,⋯ ,xn)u=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)u=f(x1,x2,⋯,xn) 在 (x1,x2,⋯ ,xn)\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)(x1,x2,⋯,xn) 可微，而 xi=φi(t1,t2,⋯ ,tm)x_{i}=\varphi_{i}\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right)xi=φi(t1,t2,⋯,tm) 在点 (t1,t2\left(t_{1}, t_{2}\right.(t1,t2, ⋯ ,tm)\left.\cdots, t_{m}\right)⋯,tm) 处
- 存在偏导数 (i=1,2,⋯ ,n)(i=1,2, \cdots, n)(i=1,2,⋯,n)，则 u=f(φ1(t1,t2,⋯ ,tm),⋯ ,φn(t1,t2,⋯ ,tm))u=f\left(\varphi_{1}\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right), \cdots, \varphi_{n}\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right)\right)u=f(φ1(t1,t2,⋯,tm),⋯,φn(t1,t2,⋯,tm)) 在 (t1,t2,⋯ ,tm)\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right)(t1,t2,⋯,tm) 处存在偏导数，
- 且有： ∂u∂tj=∂u∂x1∂φ1∂tj+∂u∂x2∂φ2∂tj+…+∂u∂xn∂φn∂tj,(j=1,⋯ ,m).\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t_{j}}=\frac{\partial u}{\partial x_{1}} \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial t_{j}}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}} \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial t_{j}}+\ldots+\frac{\partial u}{\partial x_{n}} \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial t_{j}},(j=1, \cdots, m) . }∂tj∂u=∂x1∂u∂tj∂φ1+∂x2∂u∂tj∂φ2+…+∂xn∂u∂tj∂φn,(j=1,⋯,m).
(2) 矩阵公式定理
-
设函数 u=f(x1,x2,⋯ ,xn) , ∂u∂x1,∂u∂x2,⋯ ,∂u∂xn\displaystyle{ u=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)\ ,\ \frac{\partial u}{\partial x_{1}}, \frac{\partial u}{\partial x_{2}}, \cdots, \frac{\partial u}{\partial x_{n}} }u=f(x1,x2,⋯,xn) , ∂x1∂u,∂x2∂u,⋯,∂xn∂u 在 (x1,x2,⋯ ,xn)\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)(x1,x2,⋯,xn) 处可微，
-
函数 xi=φi(t1,t2x_{i}=\varphi_{i}\left(t_{1}, t_{2}\right.xi=φi(t1,t2, ⋯ ,tm)\left.\cdots, t_{m}\right)⋯,tm) 在点 (t1,t2,⋯ ,tm)\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right)(t1,t2,⋯,tm) 有二阶偏导数，
-
则复合函数u=f(φ1(t1,t2,⋯ ,tm),⋯ ,φn(t1,t2,⋯ ,tm))u=f\left(\varphi_{1}\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right), \cdots, \varphi_{n}\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right)\right)u=f(φ1(t1,t2,⋯,tm),⋯,φn(t1,t2,⋯,tm)) 在点 (t1,t2,⋯ ,tm)\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right)(t1,t2,⋯,tm) 处存在二阶偏导数，
-
且有公式（ i∈{1,2,⋯ ,m} , j=1,2,⋯ ,mi\in\{1,2, \cdots, m\}\ , \ j=1,2, \cdots, mi∈{1,2,⋯,m} , j=1,2,⋯,m ）：
02 常见形式
在解决实际问题的时候，我们通常接触的是，一阶、二阶、三阶矩阵的形式，我们下面分别给出：
(1) 一阶形式
(2) 二阶形式
(3) 三阶形式
(4) 统一形式
显然，我们可以统一写成如下形式：
(4) 线性复合
接下来根据上述结论我们讨论一种常见的类型，线性复合。
形如 z=f(u,v) , u=ax+by+e , v=cx+dy+fz=f(u,v)\ , \ u=ax+by+e\ , \ v=cx+dy+fz=f(u,v) , u=ax+by+e , v=cx+dy+f 的二元抽象线性复合函数，代入公式可以得到：
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