本文介绍了如何通过链式法则和矩阵公式法求解多元复合函数的一阶和二阶偏导，包括雅可比矩阵和海森矩阵的概念，以及在特定函数形式（如线性复合）下的应用实例。
多元抽象复合函数求二阶偏导
一、多元复合函数
- 形如 f(x+y+z,xyz)f(x+y+z,xyz)f(x+y+z,xyz) 的函数
二、求导策略
- 一阶偏导求解的核心策略是：链式法则（最好用！）
- 二阶偏导求解的核心策略是：矩阵公式法
三、雅可比矩阵与海森矩阵
01 雅可比矩阵与海森矩阵的概念
现有多元函数组 f1(x1,x2,⋯ ,xn) , f2(x1,x2,⋯ ,xn) ,⋯ , fm(x1,x2,⋯ ,xn)\mathrm{f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)\ ,\ f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)\ ,\cdots\ ,\ f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n)}f1(x1,x2,⋯,xn) , f2(x1,x2,⋯,xn) ,⋯ , fm(x1,x2,⋯,xn)，
那么其雅可比矩阵如下所示，它储存了该函数组所有一阶偏导数的信息
J=[∂f1∂x1∂f1∂x2⋯∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2⋯∂f2∂xn⋮⋮⋱⋮∂fm∂x1∂fm∂x2⋯∂fm∂xn] \mathrm{ J= \left[\begin{array}{cccc} \displaystyle{ \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} } & \displaystyle{ \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} } \\ \displaystyle{ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} } & \displaystyle{ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle{ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} } & \displaystyle{ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}} } & \cdots & \displaystyle{ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} } \\ \end{array}\right] } J=
∂x1∂f1∂x1∂f2⋮∂x1∂fm∂x2∂f1∂x2∂f2⋮∂x2∂fm⋯⋯⋱⋯∂xn∂f1∂xn∂f2⋮∂xn∂fm
我们可以观察到，它满足同一行(hang)同一函数(han)，同一列(lie)同一自变量(liang)的规律
当多元函数组退化为一个多元函数时，其表示成
J=[∂f∂x1 , ∂f∂x2 , ⋯ , ∂f∂xn] \mathrm{ J= \left[\begin{array}{cccc} \displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_{1}} } \ ,\ \displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_{2}} } \ ,\ \cdots \ ,\ \displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_{n}} } \end{array}\right] } J=[
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