线性代数让我想想：快速求三阶矩阵的逆矩阵

野原星月

已于 2022-07-11 17:43:12 修改

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文章标签：线性代数算法

于 2022-07-09 19:54:25 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ding_Yifan/article/details/125698026

本文详细介绍了如何通过扩展和简化策略快速求解三阶矩阵的逆矩阵，包括构建五阶矩阵、删除行和列得到四阶矩阵、计算伴随矩阵以及利用行列式求逆矩阵的过程。通过两个具体的矩阵求逆例子，阐述了这一方法的实施步骤。

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快速求三阶矩阵的逆矩阵

前言

一般情况下，我们求解伴随矩阵是要注意符号问题和位置问题的（如下所示）
$\begin{aligned} & A^{-1}=\frac{1}{[\ \ ]} \left[\begin{array}{cccccc} & -[\ \ ] & \\ -[\ \ ] & & -[\ \ ]\ \ \\ & -[\ \ ] & \\ \end{array}\right]= \\ \\ & A^{-1}=\frac{1}{[\ \ ]} \left[\begin{array}{cccccc} \ \ \ M_{11} & -[M_{12}] & \ \ \ M_{13}\\ -[M_{21}] & \ \ \ M_{22} & -[M_{23}]\ \ \\ \ \ \ M_{31} & -[M_{32}] & \ \ \ M_{33}\\ \end{array}\right]^\top\\ \end{aligned}$
我们根据位置安排(行调换)的策略可以避免符号问题，将问题进行化简。

例题一

求矩阵 $D$ 的逆矩阵
$D=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]$
我们把第一二列抄写到矩阵后面
$D_1=\left[\begin{array}{lll|ll} 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$
然后把第一二行抄写到矩阵下面（新矩阵 $D_1$ 的第一二行），
这样我们就得到了一个五阶矩阵：
$D_2=\left[\begin{array}{lll|ll} 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \textcolor{cornflowerblue}{2} & \textcolor{cornflowerblue}{1} & \textcolor{cornflowerblue}{1} & \textcolor{cornflowerblue}{2} & \textcolor{cornflowerblue}{1} \\ \textcolor{cornflowerblue}{1} & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \textcolor{cornflowerblue}{2} & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \textcolor{cornflowerblue}{2} & 1 & 1 & 2 & 1 \\ \textcolor{cornflowerblue}{1} & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]$
然后我们把第一行和第一列删除（新矩阵 $D_2$ 的第一行和第一列，将标蓝的元素删除）
$D_3=\left[\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]$
然后我们算出矩阵分块组成的九个二阶行列式：

在这里插入图片描述

然后我们将求出的九个行列式结果填充到伴随矩阵的框架里，记得加上转置符号
$\left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 1 & -1 \\ \ \ \ 2 &\ \ \ 0 & -4 \\ -1 & -1 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]^\top= \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 1 &\ \ \ 0 & -1 \\ -1 & -4 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]$
这样我们就得到了伴随矩阵，然后计算矩阵对应的行列式 $∣ D ∣ = - 2$ ，

最后根据公式 $A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$ ，求出逆矩阵 $D^{-1}$
$D^{-1}=\frac{1}{|D|}D^*=\frac{\ \ \ 1}{-2} \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 1 &\ \ \ 0 & -1 \\ -1 & -4 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \ \ \ \frac{1}{2} &-1 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} &\ \ \ 0 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ \ \ \ \frac{1}{2} &\ \ \ 2 & -1 \\ \end{array}\right]$

例题二

求矩阵 $A$ 的逆矩阵
$A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{array}\right]$
抄写后对应的五阶矩阵为：
$A_1=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 &1 & 1\\ 4 & 2 & 1 &4 & 2\\ 9 & 3 & 1 &9 & 3\\ 1 & 1 & 1 &1 & 1\\ 4 & 2 & 1 &4 & 2 \end{array}\right]$
删除后得到的四阶矩阵为：
$A_2=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 &4 & 2\\ 3 & 1 &9 & 3\\ 1 & 1 &1 & 1\\ 2 & 1 &4 & 2 \end{array}\right]$
那么对应的伴随矩阵为：
$A^*=\left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 5 & -6 \\ \ \ \ 2 & -8 & \ \ \ 6 \\ -1 & \ \ \ 3 & -2 \\ \end{array}\right]^\top= \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 5 & -8 & \ \ \ 3 \\ -6& \ \ \ 6 & -2 \\ \end{array}\right]$
矩阵对应的行列式为 $∣ A ∣ = - 2$ ，根据公式计算得到逆矩阵：
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{\ \ \ 1}{-2} \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 5 & -8 & \ \ \ 3 \\ -6& \ \ \ 6 & -2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \ \ \ \frac{1}{2} &-1 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{2} &\ \ \ 4 & -\frac{3}{2} \\ \ \ \ 3 & -3 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ \end{array}\right]$