当算法遇到线性代数（三）：实对称矩阵

实对称矩阵的理论与应用

线性代数系列相关文章（置顶）

1.当算法遇到线性代数（一）：二次型和矩阵正定的意义
2.当算法遇到线性代数（二）：矩阵特征值的意义
3.当算法遇到线性代数（三）：实对称矩阵
4.当算法遇到线性代数（四）：奇异值分解（SVD）

引言

在数学、物理、工程以及计算机科学等多个领域，实对称矩阵扮演着不可或缺的角色。它们不仅具有良好的数学性质，还为解决实际问题提供了强有力的工具。本文将详细介绍实对称矩阵的历史背景、定义、关键性质及其广泛的应用场景。

---

一、背景

实对称矩阵的概念并非由单一人物提出，而是随着线性代数、微分方程和二次型等领域的发展逐渐形成的。19世纪初，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）等数学家的工作为理解这些矩阵奠定了基础。特别是在1825年左右，雅克比（Carl Gustav Jacob Jacobi）引入了特征值和特征向量的概念，并证明了每个实对称矩阵都可以被正交对角化，这一成果极大地促进了后来关于实对称矩阵的研究及其应用的发展。

二、定义

1. 概念回顾

一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 称为实对称矩阵，如果它满足条件：

$$A=A^T$$

即对于所有的 $i,j$，有 $a_{ij}=a_{ji}$，这意味着矩阵中任意元素与其对应的镜像位置上的元素相等。

2. 对角化

我们举一个可以对角化的三阶矩阵的例子。为了确保这个例子中的矩阵是可以对角化的，我们将选择一个具有三个不同特征值的矩阵，这样它将有三个线性独立的特征向量。

例子：对角化一个3x3矩阵

考虑以下3x3矩阵$A$：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}6& -1& 0\\ -1& 7& -2\\ 0& -2& 8\end{array}\right]$$

步骤 1: 求解特征值
为找到特征值，我们需要求解方程$\det (A-\lambda I)=0$，即：

$$\det \left(\left[\begin{array}{ccc}6-\lambda & -1& 0\\ -1& 7-\lambda & -2\\ 0& -2& 8-\lambda \end{array}\right]\right)=0$$

计算行列式得到特征多项式，并求解之以获得特征值。对于此矩阵，特征值为${\lambda }_1=5$,${\lambda }_2=6$, 和${\lambda }_3=10$。

步骤 2: 找到特征向量
对于每个特征值，我们解决相应的齐次线性系统以找到特征向量。

• 对于${\lambda }_1=5$：

$$(A-5I){\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ -1& 2& -2\\ 0& -2& 3\end{array}\right]{\mathbf{v}}_1=0$$

通过行简化或直接求解，可以找到一个对应的特征向量${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2/3\end{array}\right]$ 或任何它的非零倍数。

• 对于${\lambda }_2=6$：

( A − 6 I ) v 2