知识点索引：幂级数

**频次：**1
**出处：**2011-02

知识树位置：

• 无穷级数
  • 常数项级数
    • 正项级数
    • 交错级数
    • 任意项级数
  • 幂级数

知识点内容：

定义

形如
$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+\cdots$$

的函数项级数，即幂级数

当 $x_0=0$ 时，幂级数表示为 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$

阿贝尔定理

1. 若 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 在 $x=x_0(x_0\ne 0)$ 处收敛，则当 $|x|<|x_0|$ 时，$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 绝对收敛
2. 若 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 在 $x=x_0(x_0\ne 0)$ 处发散，则当 $|x|>|x_0|$ 时，$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 发散

定理

幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛性有且仅有以下三种可能：

1. 对任何 $x\in (-\infty ,+\infty )$ 都收敛
2. 仅在 $x=0$ 处收敛
3. 存在一个正整数 $R$，当 $|x|<R$ 时绝对收敛，当 $|x|>R$ 时发散

收敛域定义

正整数 $R$ 称为幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径
开区间 $(-R,+R)$ 称为幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛区间
若 $x=\pm R$ 时 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 收敛，则 $[-R,+R]$ 为幂级数的收敛域

收敛半径定理

若 $\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$，则 $R=\frac{1}{\rho }$

若$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$，则 $R=\frac{1}{\rho }$

问题集

【2011-02】设数列 $a_n$ 单调减少，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$，$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k(n=1,2,\cdots )$ 无界，则幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$ 的收敛域为
A，$(-1,1]$
B，$[-1,1)$
C，$[0,2)$
D，$(0,2]$

【解】
$\because a_n单减，\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$
$\therefore 根据莱布尼茨定理得，\underset{n=1}{\overset{\infty }{\lim }}(-1{)}^n{a}_n收敛$
$\therefore 当x=-1时，\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n收敛$
$\therefore |x|<|-1|，R⩾1$
$\because \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n无界$
$\therefore 当x=1时，\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n发散$
$\therefore |x|>|1|，R⩽1$
综上 $R=1，\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n的收敛域为[-1,1)$
$\because \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n的收敛中心较\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n向右偏移1个单位$
$\therefore \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n的收敛域为[0,2)$