繁星数学随想录·笔记卷
摘录卷
中值定理【王下七武海】
一、介值定理
- 表述01
- 若 f(x)∈C[a,b],M,m(M>m)f(x) \in C[a, b], M, m(M>m)f(x)∈C[a,b],M,m(M>m) 分别是 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 的最大值和最小值, 则 ∀μ∈(m,M),∃ξ∈(a,b)\forall \mu \in(m, M), \exists \xi \in(a, b)∀μ∈(m,M),∃ξ∈(a,b) 使得 f(ξ)=μf(\xi)=\muf(ξ)=μ
- 表述02(武忠祥)
- 设 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续,且 f(a)≠f(b)f(a) \neq f(b)f(a)=f(b) ,则对于任意介于 f(a)f(a)f(a) 与 f(b)f(b)f(b) 之间的数 CCC ,至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b) ,使 f(ξ)=Cf(\xi)=Cf(ξ)=C
二、零点定理
- 表述01
- 若 f(x)∈C[a,b],f(a)f(b)<0f(x) \in C[a, b], f(a) f(b)<0f(x)∈C[a,b],f(a)f(b)<0, 则 ∃ξ∈(a,b)\exists \xi \in(a, b)∃ξ∈(a,b), 使得 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0
- 表述02(武忠祥)
- 设 f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续,且 f(a)⋅f(b)<0f(a)·f(b)<0f(a)⋅f(b)<0,则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b) ,使 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0
三、罗尔定理
- 罗尔定理
- 若 f(x)f(x)f(x) 满足:
(1) f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)∈C[a,b] ——区间上连续
(2) f(x)∈D[a,b]f(x)\in D[a,b]f(x)∈D[a,b] ——区间内可导
(3) f(a)=f(b)f(a) = f(b)f(a)=f(b) ——端点函数值相等
则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b),使 f’(ξ)=0f^{’}(\xi)=0f’(ξ)=0
- 若 f(x)f(x)f(x) 满足:
- 几何解释
四、拉格朗日中值定理
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拉格朗日中值定理
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若 f(x)f(x)f(x) 满足:
(1) f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)∈C[a,b] ——区间上连续
(2) f(x)∈D(a,b)f(x)\in D(a,b)f(x)∈D(a,b) ——区间内可导
则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b),使 f’(ξ)=f(b)−f(a)b−af^{’}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f’(ξ)=b−af(b)−f(a) 或 f′(ξ)(b−a)=f(b)−f(a)f'(\xi)(b-a)=f(b)-f(a)f′(ξ)(b−a)=f(b)−f(a)
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几何解释
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定理的另一种形式
- 函数的有限增量公式
- ∃ θ∈(0,1)\exists \, \theta \in(0,1)∃θ∈(0,1),f(x+Δx)−f(x)=f′(x+θΔx)Δxf(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta \Delta x) \Delta xf(x+Δx)−f(x)=f′(x+θΔx)Δx
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推论
- (1) f′(x)≡0 (x∈I)⇒f(x)≡c (x∈I)f^{\prime}(x) \equiv 0 \, (x \in I) \Rightarrow f(x) \equiv c \, (x \in I)f′(x)≡0(x∈I)⇒f(x)≡c(x∈I)
- (2) f′(x)≡k (x∈I)⇒f(x)=kx+b (x∈I)f^{\prime}(x) \equiv k \, (x \in I) \Rightarrow f(x)=kx+b \, (x \in I)f′(x)≡k(x∈I)⇒f(x)=kx+b(x∈I)
- (3) 导数极限定理:函数在 U(x0)U(x_0)U(x0) 上连续,在 U∘(x0)\stackrel{\circ}{U}(x_0)U∘(x0) 内可导,且 limx→x0f′(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f'(x_0)x→x0limf′(x0) 存在,则 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处可导,且 f′(x0)=limx→x0f(x0)f'(x_0)=\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f(x_0)f′(x0)=x→x0limf(x0)
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说明
- 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
- 定理可证方程开区间内有根。
- 定理可证不等式(不等式中出现函数增量)。
五、柯西中值定理
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柯西中值定理
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若 f(x)f(x)f(x) 满足:
(1) f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)∈C[a,b] ——区间上连续
(2) f(x)∈D[a,b]f(x)\in D[a,b]f(x)∈D[a,b] ——区间内可导,且 g′(x)≠0g'(x) \neq 0g′(x)=0
则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b),使 f′(ξ)g′(ξ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g′(ξ)f′(ξ)=g(b)−g(a)f(b)−f(a) .
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柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,当 g(x)=xg(x)=xg(x)=x 时,形式同拉格朗日中值定理。
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定理可证方程有根(出现两个函数增量)。
六、泰勒中值定理
01 一点附近的泰勒公式
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一点附近的泰勒公式
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f(x)f(x)f(x) 在 x0x_{0}x0 附近定义, 且在 x0x_{0}x0 有 nnn 阶导数,则
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n)
o((x−x0)n)o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)o((x−x0)n) ——皮亚诺余项
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注意:条件相当弱,只要在 x0x_0x0 一点有 nnn 阶导数即可
02 区间 (a,b)(a,b)(a,b) 上的泰勒公式
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区间 (a,b)(a,b)(a,b) 上的泰勒公式
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f(x)f(x)f(x) 在 (a,b)(a, b)(a,b) 有 n+1n+1n+1 阶导数, x0∈(a,b)x_{0} \in(a, b)x0∈(a,b), 则在 (a,b)(a,b)(a,b) 成立,则
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x) =f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+Rn(x)
其中,Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1,ξ\xiξ 在 x,x0x, x_{0}x,x0 之间
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03 麦克劳林公式
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f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+R_{n}(x)f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+Rn(x),
Rn(x)=f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1(θ∈(0,1))R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1} \quad(\theta \in(0,1))Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(θx)xn+1(θ∈(0,1)) 或 o(xn)o\left(x^{n}\right)o(xn)
七、积分中值定理
01 积分第一中值定理
(1) 一般形式(平均值定理)
若 f(x)∈C[a,b]f(x) \in C[a, b]f(x)∈C[a,b],则至少存在一点 ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ∈[a,b],使 ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a) .
(2) 推广形式
若 f(x)∈C[a,b],g(x)∈R[a,b],g(x)f(x) \in C[a, b], g(x) \in R[a, b], g(x)f(x)∈C[a,b],g(x)∈R[a,b],g(x) 在 [a,b][a, b][a,b]上不变号,至少存在一点 ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ∈[a,b],
使 ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx=f(a)\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) d x=f(a)∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx=f(a) .
02 积分第二中值定理
(1) 一般形式
如果函数 f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x) 在闭区间 [a,b][a, b][a,b] 上可积,且 f(x)f(x)f(x) 为单调函数,
则在积分区间 [a,b][a, b][a,b] 上至少存在一个点 ε\varepsilonε,使下式成立:
∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx+f(b)∫ξbg(x)dx
\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(a) \int_{a}^{\xi} g(x) d x+f(b) \int_{\xi}^{b} g(x) d x
∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx+f(b)∫ξbg(x)dx
(2) 退化态形式
令一般形式中的 g(x)=1g(x)=1g(x)=1,在积分区间 [a,b][a, b][a,b] 上至少存在一个点 ξ\xiξ,
使下式成立:
∫abf(x)g(x)dx=f(a)(ξ−a)+f(b)(b−ξ)
\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(a) (\xi-a)+f(b) (b-\xi)
∫abf(x)g(x)dx=f(a)(ξ−a)+f(b)(b−ξ)
(3) 推广形式
设 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上可积,考虑下列两种情况:
① g(x)g(x)g(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上单调递减且在 x∈[a,b]x \in[a, b]x∈[a,b] 时, g(x)≥0g(x) \geq 0g(x)≥0 ,
那么存在 ξ∈[a,b]\xi \in[a, b]ξ∈[a,b] 使得 ∫abf(x)g(x)dx=g(a)∫aξf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) d x∫abf(x)g(x)dx=g(a)∫aξf(x)dx.
② g(x)g(x)g(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上单调递增且在 x∈[a,b]x \in[a, b]x∈[a,b] 时, g(x)≥0g(x) \geq 0g(x)≥0 ,
那么存在 ξ∈[a,b]\xi \in[a, b]ξ∈[a,b] 使得 ∫abf(x)g(x)dx=g(b)∫ξbf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) d x∫abf(x)g(x)dx=g(b)∫ξbf(x)dx.