高等数学笔记:中值定理【王下七武海】

本文详细阐述了微积分中的几个核心中值定理,包括介值定理、零点定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。这些定理不仅揭示了函数性质的内在联系,还在求解方程、证明不等式和理解函数行为等方面有着广泛应用。同时,介绍了积分中值定理的第一和第二形式,展示了它们在确定函数平均值和判断单调性上的作用。

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繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

中值定理【王下七武海】

一、介值定理

  • 表述01
    • f(x)∈C[a,b],M,m(M>m)f(x) \in C[a, b], M, m(M>m)f(x)C[a,b],M,m(M>m) 分别是 f(x)f(x)f(x)[a,b][a, b][a,b] 的最大值和最小值, 则 ∀μ∈(m,M),∃ξ∈(a,b)\forall \mu \in(m, M), \exists \xi \in(a, b)μ(m,M),ξ(a,b) 使得 f(ξ)=μf(\xi)=\muf(ξ)=μ
  • 表述02(武忠祥)
    • f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续,且 f(a)≠f(b)f(a) \neq f(b)f(a)=f(b) ,则对于任意介于 f(a)f(a)f(a)f(b)f(b)f(b) 之间的数 CCC ,至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ(a,b) ,使 f(ξ)=Cf(\xi)=Cf(ξ)=C

二、零点定理

  • 表述01
    • f(x)∈C[a,b],f(a)f(b)<0f(x) \in C[a, b], f(a) f(b)<0f(x)C[a,b],f(a)f(b)<0​, 则 ∃ξ∈(a,b)\exists \xi \in(a, b)ξ(a,b)​, 使得 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0
  • 表述02(武忠祥)
    • f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续,且 f(a)⋅f(b)<0f(a)·f(b)<0f(a)f(b)<0,则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ(a,b) ,使 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0

三、罗尔定理

  • 罗尔定理
    • f(x)f(x)f(x) 满足:
      (1) f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)C[a,b] ——区间上连续
      (2) f(x)∈D[a,b]f(x)\in D[a,b]f(x)D[a,b] ——区间内可导
      (3) f(a)=f(b)f(a) = f(b)f(a)=f(b)​ ——端点函数值相等
      则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ(a,b),使 f’(ξ)=0f^{’}(\xi)=0f(ξ)=0
  • 几何解释
    在这里插入图片描述

四、拉格朗日中值定理

  • 拉格朗日中值定理

    • f(x)f(x)f(x)​​ 满足:

      ​ (1) f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)C[a,b]​​ ——区间上连续

      ​ (2) f(x)∈D(a,b)f(x)\in D(a,b)f(x)D(a,b)​​​ ——区间内可导

      则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ(a,b)​​,使 f’(ξ)=f(b)−f(a)b−af^{’}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}f(ξ)=baf(b)f(a)​ 或 f′(ξ)(b−a)=f(b)−f(a)f'(\xi)(b-a)=f(b)-f(a)f(ξ)(ba)=f(b)f(a)

  • 几何解释

    在这里插入图片描述

  • 定理的另一种形式

    • 函数的有限增量公式
    • ∃ θ∈(0,1)\exists \, \theta \in(0,1)θ(0,1)​,f(x+Δx)−f(x)=f′(x+θΔx)Δxf(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime}(x+\theta \Delta x) \Delta xf(x+Δx)f(x)=f(x+θΔx)Δx
  • 推论

    • (1) f′(x)≡0 (x∈I)⇒f(x)≡c (x∈I)f^{\prime}(x) \equiv 0 \, (x \in I) \Rightarrow f(x) \equiv c \, (x \in I)f(x)0(xI)f(x)c(xI)
    • (2) f′(x)≡k (x∈I)⇒f(x)=kx+b (x∈I)f^{\prime}(x) \equiv k \, (x \in I) \Rightarrow f(x)=kx+b \, (x \in I)f(x)k(xI)f(x)=kx+b(xI)
    • (3) 导数极限定理:函数在 U(x0)U(x_0)U(x0)​ 上连续,在 U∘(x0)\stackrel{\circ}{U}(x_0)U(x0)​ 内可导,且 lim⁡x→x0f′(x0)\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f'(x_0)xx0limf(x0)​ 存在,则 f(x)f(x)f(x)​ 在点 x0x_0x0​ 处可导,且 f′(x0)=lim⁡x→x0f(x0)f'(x_0)=\lim \limits_{x \rightarrow x_0}f(x_0)f(x0)=xx0limf(x0) ​​
  • 说明

    • 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
    • 定理可证方程开区间内有根。
    • 定理可证不等式(不等式中出现函数增量)。

五、柯西中值定理

  • 柯西中值定理

    • f(x)f(x)f(x) 满足:

      ​ (1) f(x)∈C[a,b]f(x)\in C[a,b]f(x)C[a,b] ——区间上连续

      ​ (2) f(x)∈D[a,b]f(x)\in D[a,b]f(x)D[a,b] ——区间内可导,且 g′(x)≠0g'(x) \neq 0g(x)=0

      则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ(a,b),使 f′(ξ)g′(ξ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(ξ)f(ξ)=g(b)g(a)f(b)f(a)​ .

  • 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,当 g(x)=xg(x)=xg(x)=x​​ 时,形式同拉格朗日中值定理。

  • 定理可证方程有根(出现两个函数增量)。

六、泰勒中值定理

01 一点附近的泰勒公式
  • 一点附近的泰勒公式

    • f(x)f(x)f(x)​​ 在 x0x_{0}x0​​ 附近定义, 且在 x0x_{0}x0​​ 有 nnn​​ 阶导数,则

      f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+2!f(x0)(xx0)2++n!f(n)(x0)(xx0)n+o((xx0)n)​​

      o((x−x0)n)o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)o((xx0)n) ——皮亚诺余项

  • 注意:条件相当弱,只要在 x0x_0x0 一点有 nnn 阶导数即可

02 区间 (a,b)(a,b)(a,b)​ 上的泰勒公式
  • 区间 (a,b)(a,b)(a,b) 上的泰勒公式

    • f(x)f(x)f(x)(a,b)(a, b)(a,b)n+1n+1n+1 阶导数, x0∈(a,b)x_{0} \in(a, b)x0(a,b), 则在 (a,b)(a,b)(a,b) 成立,则

      f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x) =f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+2!f(x0)(xx0)2++n!f(n)(x0)(xx0)n+Rn(x)

      其中,Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1ξ\xiξx,x0x, x_{0}x,x0 之间

03 麦克劳林公式
  • f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+R_{n}(x)f(x)=f(0)+f(0)x+2!f(0)x2++n!f(n)(0)xn+Rn(x)​,

    Rn(x)=f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1(θ∈(0,1))R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1} \quad(\theta \in(0,1))Rn(x)=(n+1)!f(n+1)(θx)xn+1(θ(0,1))o(xn)o\left(x^{n}\right)o(xn)

七、积分中值定理

01 积分第一中值定理

(1) 一般形式(平均值定理)

f(x)∈C[a,b]f(x) \in C[a, b]f(x)C[a,b],则至少存在一点 ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ[a,b],使 ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)abf(x)dx=f(ξ)(ba) .

(2) 推广形式

f(x)∈C[a,b],g(x)∈R[a,b],g(x)f(x) \in C[a, b], g(x) \in R[a, b], g(x)f(x)C[a,b],g(x)R[a,b],g(x)[a,b][a, b][a,b]上不变号,至少存在一点 ξ∈[a,b]\xi \in [a,b]ξ[a,b]

使 ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx=f(a)\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) d x=f(a)abf(x)g(x)dx=f(ξ)abg(x)dx=f(a)​ .

02 积分第二中值定理

(1) 一般形式

如果函数 f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x) 在闭区间 [a,b][a, b][a,b] 上可积,且 f(x)f(x)f(x) 为单调函数,

则在积分区间 [a,b][a, b][a,b] 上至少存在一个点 ε\varepsilonε,使下式成立:
∫abf(x)g(x)dx=f(a)∫aξg(x)dx+f(b)∫ξbg(x)dx \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(a) \int_{a}^{\xi} g(x) d x+f(b) \int_{\xi}^{b} g(x) d x abf(x)g(x)dx=f(a)aξg(x)dx+f(b)ξbg(x)dx
(2) 退化态形式

令一般形式中的 g(x)=1g(x)=1g(x)=1,在积分区间 [a,b][a, b][a,b] 上至少存在一个点 ξ\xiξ

使下式成立:
∫abf(x)g(x)dx=f(a)(ξ−a)+f(b)(b−ξ) \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(a) (\xi-a)+f(b) (b-\xi) abf(x)g(x)dx=f(a)(ξa)+f(b)(bξ)
(3) 推广形式

f(x)f(x)f(x)[a,b][a, b][a,b] 上可积,考虑下列两种情况:

​ ① g(x)g(x)g(x)[a,b][a, b][a,b] 上单调递减且在 x∈[a,b]x \in[a, b]x[a,b] 时, g(x)≥0g(x) \geq 0g(x)0

​ 那么存在 ξ∈[a,b]\xi \in[a, b]ξ[a,b] 使得 ∫abf(x)g(x)dx=g(a)∫aξf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) d xabf(x)g(x)dx=g(a)aξf(x)dx.

​ ② g(x)g(x)g(x)[a,b][a, b][a,b] 上单调递增且在 x∈[a,b]x \in[a, b]x[a,b] 时, g(x)≥0g(x) \geq 0g(x)0

​ 那么存在 ξ∈[a,b]\xi \in[a, b]ξ[a,b] 使得 ∫abf(x)g(x)dx=g(b)∫ξbf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) d xabf(x)g(x)dx=g(b)ξbf(x)dx.

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