高等数学学习笔记2：微分，不定积分，定积分

前言

Q：高等数学学习笔记1跑哪里去了？？？
A：还没写，下次补发。
其中会有一些我的理解，若不正确，感谢指出错误。
理解这篇文章，需要三角函数，导数。

微分

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分
--百度百科

我们去估计$\Delta y$的值，就是等于$x_0$处的切线斜率乘上$\Delta x$，即
$$\Delta y=\Delta x\times f^{\prime }(x)$$
换一下
$$dy=f^{\prime }(x)\times dx$$
$dy$就是函数的微分，我们可以发现函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积。
$$f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$$
$f^{\prime }(x)$即微商。

微分的运算法则和导数的运算法则类似。

不定积分

• 设$f$和$F$在区间$I$上有定义，若
  $$F^{\prime }(x)=f(x),x\in I$$
  则称$F$为$f$在区间$I$的一个原函数。

• 若函数$f$在区间$I$上连续，则$f$在$I$上存在原函数。
  初等函数是连续函数，所以每一个初等函数都有原函数。

• 设$F$是$f$在区间$I$上的一个原函数，则
  $F+C$也是一个原函数，C为任意常量函数。
  证：
  $$[F(x)+C{]}^{\prime }=F^{\prime }(x)=f(x)$$

定义

函数$f$在区间$I$上的全体原函数称为$f$在$I$上的不定积分，记做：
$$\int f(x)dx$$

积分和微分互为逆运算。
我们令$y=\int f(x)dx$
$y$是原函数，所以有$y^{\prime }=f(x)$
$$\therefore y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$$