高等数学学习笔记2:微分,不定积分,定积分

这篇博客介绍了微分的概念,指出微分是导数与自变量微分的乘积,并探讨了不定积分,包括其定义、运算法则和积分表。文章还讲解了换元积分和分部积分的技巧,并通过实例展示了如何应用这些方法。最后,讨论了定积分的几何意义及牛顿-莱布尼茨公式,用于计算曲边梯形的面积。

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前言

Q:高等数学学习笔记1跑哪里去了???
A:还没写,下次补发。

其中会有一些我的理解,若不正确,感谢指出错误。
理解这篇文章,需要三角函数,导数。

微分

微分在数学中的定义:由函数B=f(A),得到A、B两个数集,在A中当dx靠近自己时,函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分
--百度百科

我们去估计Δy\Delta yΔy的值,就是等于x0x_0x0处的切线斜率乘上Δx\Delta xΔx,即
Δy=Δx×f′(x)\Delta y = \Delta x \times f^\prime(x)Δy=Δx×f(x)
换一下
dy=f′(x)×dxdy=f^\prime(x)\times dxdy=f(x)×dx
dydydy就是函数的微分,我们可以发现函数的微分等于函数的导数与自变量微分的积。
f′(x)=dydxf^\prime(x)=\frac {dy}{dx}f(x)=dxdy
f′(x)f^\prime(x)f(x)即微商。
在这里插入图片描述
微分的运算法则和导数的运算法则类似。

不定积分

  • fffFFF在区间III上有定义,若
    F′(x)=f(x),x∈IF^\prime (x)=f(x),x\in I F(x)=f(x),xI
    则称FFFfff在区间III的一个原函数

  • 若函数fff在区间III上连续,则fffIII上存在原函数。
    初等函数是连续函数,所以每一个初等函数都有原函数。

  • FFFfff在区间III上的一个原函数,则
    F+CF+CF+C也是一个原函数,C为任意常量函数。
    证:
    [F(x)+C]′=F′(x)=f(x)[F(x)+C]^\prime=F^\prime(x)=f(x)[F(x)+C]=F(x)=f(x)

定义

函数fff在区间III上的全体原函数称为fffIII上的不定积分,记做:
∫f(x)dx\int f(x)dxf(x)dx

积分和微分互为逆运算。
我们令y=∫f(x)dxy=\int f(x)dxy=f(x)dx
yyy是原函数,所以有y′=f(x)y^\prime=f(x)y=f(x)
∴y′=dydx=f(x)\therefore y^\prime =\frac {dy}{dx}=f(x)y=dxdy

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