高等数学笔记：第一p广义积分与第二p广义积分

最新推荐文章于 2024-12-23 10:34:30 发布

野原星月

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这篇随想录探讨了两种类型的广义积分的敛散性：无穷区间与无界函数。对于第一种，当p=1时积分发散，p≠1时，积分在p>1时收敛，p<1时发散。对于第二种情况，当p≤0时，积分作为定积分总是收敛的；p>0时，p=1时发散，p≠1时，积分在p<1时收敛，p>1时发散。特别是，积分∫011xpdx在p<1时收敛，p>1时发散。

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繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

第一p广义积分与第二p广义积分

第一 $p$ 广义积分——无穷区间的敛散性
$\begin{aligned} & 讨论:\int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}\ \ (a>0)\ 的敛散性\\ & 解答:\ (1) \ \ p=1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x}=\left.\ln x\right|_{a} ^{+\infty}=\infty\Rightarrow 发散 \\ & \quad\quad\ \ \ (2) \ \ p\neq1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{a} ^{+\infty}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 收敛 \\ \ p<1\ \ 发散\end{cases}\\ & 综上，对于积分\int _{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\ \ , \ p>1 \ 收敛 \ , \ p\leqslant 1 \ 发散 \end{aligned}$
第二 $p$ 广义积分—— 无界函数的敛散性
$\begin{aligned} & 讨论:\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ 的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ p\leqslant0 \ , \ 则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ p>0 \ , \ \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ p=1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x-a}=\left.\ln (x-a)\right|_{0} ^{1}=\infty\Rightarrow 发散 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ p\neq1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{(x-a)^{-p+1}}{-p+1}\right|_{0} ^{1}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 发散 \\ \ p<1\ \ 收敛\end{cases}\\ & 综上，对于积分\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ ，p<1时收敛，p>1时发散。\\ & 特别地，对于积分\int _{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\ ，p<1时收敛，p>1时发散。 \end{aligned}$