高数强化NO26|中值定理|闭区间上连续函数|罗尔定理

$$\begin{array}{rl}& \text{10大定理}\{\begin{array}{l}\text{同代人：闭区间上连续函数的性质（3个）}\\ \text{[介值、最值、零点]}\\ \\ \text{抚养：微分中值定理（5个）}\\ \text{[费马、罗尔、拉格朗日、柯西、泰勒]}\\ \\ \text{赡养：积分中值定理（2个：基本形式、加强形式）}\end{array}\end{array}$$
涉及到导数，由f得到f‘的信息，用微分
一个函数，端点值相等用罗尔，不等用拉格朗日，
两个函数用柯西，
高阶导数用泰勒

对定理内容的考查

$$\begin{array}{rl}& \text{解：}\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x+c}{x-c}\right)}^x=e^{{\lim }_{x\to \infty }x\cdot \left(\frac{x+c}{x-c}-1\right)}=e^{{\lim }_{x\to \infty }x\cdot \frac{2c}{x-c}}=e^{2c}\\ & \\ & \underset{x\to \infty }{\lim }\left(f(x)-f(x-1)\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x-(x-1)\right)f^{\prime }(\xi )(\xi \in (x-1,x))\\ & =\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(\xi )=\underset{\xi \to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(\xi )=e\\ & \\ & e^{2c}=e⟹c=\frac{1}{2}.\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(\xi )\text{介于}{f}^{\prime }(x-1)\text{与}{f}^{\prime }(x)\text{之间，}\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=e,\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x-1)=e\\ & \text{由夹逼准则可知，}\underset{\xi \to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(\xi )=e.\end{array}$$
$$【小结】当题目中直接或间接给出两个f相减，就可以尝试运用拉格朗日中值定理。$$
$$\text{抽象型：拉格（参考200题笔记即可）.}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{数值型：}\\ & ①x\to \infty ,2018\text{-2-4分}.\\ & \underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\left(\arctan (x+1)-\arctan x\right)\\ & =\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\cdot (x+1-x)\cdot \frac{1}{1+{\xi }^2}(\xi \text{介于}x\text{与}x+1\text{之间}).\\ & \\ & 1\leftarrow \frac{x^2}{1+(x+1{)}^2}<\frac{x^2}{1+{\xi }^2}<\frac{x^2}{1+x^2}\to 1\\ & \text{由夹逼准则可知：}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{1+{\xi }^2}=1.\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& ②x\to 0\text{不能用拉格}\\ & f(u)=1-\cos u\\ & \underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\cos 2x)-(1-\cos x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 2x}{x^2}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{3}{2}\\ & \\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(2x-x)\sin \xi }{x^2}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\sin \xi }{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin \xi }{x}\\ & \\ & 2\leftarrow \frac{\sin x}{x}<\frac{\sin \xi }{x}<\frac{\sin 2x}{x}\to 4\\ & \text{不能用夹逼准则}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \text{分析：}{f}^{\prime }(\xi )=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\\ & \\ & ①\text{当出现两个}f\text{相减时}\\ & \text{就可以用拉格朗日中值定理}\\ & \\ & ②\text{一个}f\text{用拉格朗日，要凑另一个}f.\\ & (\text{若}f(0)=0,f(b)=f(b)-f(0)=(b-0)f^{\prime }(\xi ))\\ & e^x-1=e^x-e^0=(x-0)e^{\xi }\\ & \ln x=\ln x-\ln 1=(x-1)\frac{1}{\xi }\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& ③\text{用拉格朗日中值定理比大小，选区间的}\\ & \text{原则有两个：①长度相同，②不交叉}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{证：}\\ & f(a+b)-f(b)\le f(a)-f(0)\\ & \\ & (a+b-b)f^{\prime }({\xi }_1)\le (a-0)f^{\prime }({\xi }_2)\{\begin{array}{l}{\xi }_1\in (b,a+b)\\ {\xi }_2\in (0,a)\end{array}\\ & \\ & f^{\prime }({\xi }_1)\le f^{\prime }({\xi }_2)\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{【小结】对于抽象函数，如果只有1个}f\text{或3个}f，\text{且题目条件中直接或间接给出了函}\\ & \text{数的零点即}f(x_0)=0，\text{此时可以构造出两个}f\text{相减的形式，再运用拉格朗日中值定理。}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \text{函数值由区间长度和增长速度所构成.}\\ & \\ & \text{解：法1：特殊值法. }f(x)=x,\text{可排除(A)(C). }f(x)=x^2\text{可排除(B)}\\ & \text{选(D)}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{法2：}\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=+\infty ,\text{存在}M>0,x_0>0,\text{当}x>x_0\text{时，}\\ & \text{有}{f}^{\prime }(x)>M.\\ & \\ & f(x)=f(x)-f(x_0)+f(x_0)=(x-x_0)f^{\prime }(\xi )+f(x_0)>M(x-x_0)+f(x_0)\\ & (\xi \in (x_0,x))\\ & \\ & \underset{x\to +\infty }{\lim }M(x-x_0)=+\infty ,\text{故}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty .\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{【小结】如果要用导数的性质推出函数的性质，且条件中没有给出两个}f\text{相减，我们往}\\ & \text{往需要自己构造使用拉格朗日中值定理的条件，如本题解析中给出的方法，但是这样解}\\ & \text{此类题目比较复杂，我们可以直接记住如下结论：}\\ & \\ & \text{当}x\to \infty \text{时，}{f}^{\prime }(x)\text{趋于不为零的数}A\text{（含无穷），则}f(x)\text{一定趋于无穷；}\\ & \\ & \text{上述结论包含了四种情况：}\\ & ①\text{若}x\to +\infty \text{时，}{f}^{\prime }(x)\to A(A>0)\text{（含正无穷），则}f(x)\to +\infty ；\\ & ②\text{若}x\to -\infty \text{时，}{f}^{\prime }(x)\to A(A<0)\text{（含负无穷），则}f(x)\to +\infty ；\\ & ③\text{若}x\to +\infty \text{时，}{f}^{\prime }(x)\to A(A<0)\text{（含负无穷），则}f(x)\to -\infty ；\\ & ④\text{若}x\to -\infty \text{时，}{f}^{\prime }(x)\to A(A>0)\text{（含正无穷），则}f(x)\to -\infty 。\end{array}$$

闭区间上连续函数性质的运用

$$\begin{array}{rl}& \text{若证}\xi \in [a,b],\text{介值，}\text{可以用零点，但没必要}\\ & \\ & \text{若证}\xi \in (a,b),\text{零点，}\text{不能用介值}.\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{证：设}f(x)\text{在}[a,b]\text{上的最小值和最大值分别为}m\text{和}M,m\le f(x)\le M\\ & \text{不妨设}g(x)>0,{\int }_a^{b}mg(x)dx\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\le {\int }_a^{b}Mg(x)dx\\ & \\ & \text{又}{\int }_a^{b}g(x)dx>0,\text{则}m\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}\le M,\text{故由介值定理可知：}\\ & \\ & \exists \xi \in [a,b],\text{使得}f(\xi )=\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx},\text{整理可得，}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{【小结】}1.\text{所要证明的结论与所给条件同阶，一般考查的是闭区间上连续函数的性质，}\\ & \text{考虑使用介值定理或零点定理，结论的中值属于闭区间，考虑使用介值定理.}\\ & \\ & 2.\text{介值定理基本使用方法：构造介值，把结论整理成}f(\xi )=A，\text{此时}A\text{即介值；证明介}\\ & \text{值，证明介值}A\text{介于函数}f(x)\text{的最大值与最小值之间.}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{例1，203. 定理背过，应用.}\\ & \\ & \underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sqrt{x-t}{e}^{t}dt}{\sqrt{x^3}}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\xi }{\int }_0^x\sqrt{x-t}dt}{\sqrt{x^3}}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sqrt{x-t}dt}{\sqrt{x^3}}\\ & =\dots \end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& 0\le {\xi }_n\le \frac{1}{n}\\ & \\ & 0\le {\int }_0^{\frac{1}{n}}\frac{\sin \sqrt{x}}{1+x^2}dx=\sin \sqrt{{\xi }_n}{\int }_0^{\frac{1}{n}}\frac{1}{1+x^2}dx\\ & \le \sin \sqrt{\frac{1}{n}}\cdot \arctan \frac{1}{n}\end{array}$$

罗尔定理的使用

$$\begin{array}{rl}& \text{解：令}F(x)=f(x)-g(x).\text{显然，}F(a)=F(b)=0.\\ & \text{设}f(x)\text{在}x=\alpha \text{处取得最大值}M,f(\alpha )=M,\alpha \in (a,b)\\ & g(x)\text{在}x=\beta \text{处取得最大值}M,g(\beta )=M,\beta \in (a,b)\\ & \\ & \text{若}\alpha =\beta ,\text{取}F(\alpha )=0\\ & \text{不妨设}\alpha <\beta ,\\ & F(\alpha )=f(\alpha )-g(\alpha )=M-g(\alpha )>0\\ & F(\beta )=f(\beta )-g(\beta )=f(\beta )-M<0\\ & \text{则由零点定理可知，}\exists \eta \in (\alpha ,\beta ),F(\eta )=0.\\ & \\ & \text{由罗尔定理可知，}\exists {\xi }_1\in (a,\eta ),{\xi }_2\in (\eta ,b)\text{使得}{F}^{\prime }({\xi }_1)=0,F^{\prime }({\xi }_2)=0\\ & \text{进而再由罗尔定理可知：}\exists \xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\text{使得}{F}^{\prime \prime }(\xi )=0,f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi ).\end{array}$$

$$【小结】如果证明二阶导有零点，需要找三个不同点函数值相同.$$

$$\begin{array}{rl}& \text{解：设}F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt,F(0)=F(\pi )=0\\ & \\ & {\int }_0^{\pi }f(x)\cos xdx={\int }_0^{\pi }\cos x\cdot F^{\prime }(x)dx\\ & =\cos x\cdot F(x){|}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }F(x)\sin xdx=0\\ & \\ & \text{令}G(x)={\int }_0^{x}F(t)\sin tdt,G(0)=G(\pi )=0\\ & \text{由罗尔定理可知，}\exists \eta \in (0,\pi ),G^{\prime }(\eta )=0,F(\eta )\sin \eta =0,F(\eta )=0.\\ & \\ & \text{由罗尔定理可知，}\exists {\xi }_1\in (0,\eta ),F^{\prime }({\xi }_1)=0,{\xi }_2\in (\eta ,\pi ),F^{\prime }({\xi }_2)=0\\ & \text{即}f({\xi }_1)=f({\xi }_2)=0.\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{【小结】证明导数有两个不同的零点，和证明二阶导数有一个零点本质上是一样的，都}\\ & \text{是找函数有三个不同的零点。}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \text{证：(1) 令}F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt-f(0)x,F(2)=F(0)=0\\ & \text{则由罗尔定理可知，}\exists \eta \in (0,2)\text{使得}{F}^{\prime }(\eta )=0,f(\eta )=f(0)\\ & \\ & (2)\text{设}f(x)\text{在}[2,3]\text{上的最小值、最大值分别为}m\text{和}M.\\ & m=\frac{m+m}{2}\le \frac{f(2)+f(3)}{2}\le \frac{M+M}{2}=M,\text{由介值定理可知存在}{\eta }_1\in [2,3],f({\eta }_1)=\frac{f(2)+f(3)}{2}=f(0)\\ & \text{由罗尔定理可知，存在}{\xi }_1\in (0,\eta ),{\xi }_2\in (\eta ,{\eta }_1),f^{\prime }({\xi }_1)=f^{\prime }({\xi }_2)=0,\exists \xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2),f^{\prime \prime }(\xi )=0\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}& \text{【小结】积分中值定理的使用关键是取开区间还是取闭区间。一般情况下，如果没有特}\\ & \text{别的要求，倾向于取闭区间，因为这个时候不需要额外证明，只需要直接引用积分中值}\\ & \text{定理即可。但在本题中，如果取成闭区间，那么该点就有可能等于端点，无法得到函数}\\ & \text{在三点的函数值都相同。这种情况下，只能取成开区间，在得到结论之前就需要先把证}\\ & \text{明过程写出来。}\end{array}$$