辅助函数的构造
![![[Pasted image 20251213165629.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/edb654f031024f92a90764b8c402f7e7.png)
证：(1) 用反证法. 假设∃c∈(a,b)满足g(c)=0.则由罗尔定理可得，∃ξ1∈(a,c), ξ2∈(c,b)使得g′(ξ1)=g′(ξ2)=0再由罗尔定理可得：∃ξ∈(ξ1,ξ2),使得g′′(ξ)=0.与条件相矛盾.故在(a,b)内g(x)≠0. \begin{aligned} &\text{证：(1) 用反证法. 假设} \exists c \in (a,b) \text{满足} g(c) = 0. \\ &\quad \text{则由罗尔定理可得，} \exists \xi_1 \in (a,c),\ \xi_2 \in (c,b) \text{使得} g'(\xi_1) = g'(\xi_2) = 0 \\ &\quad \text{再由罗尔定理可得：} \exists \xi \in (\xi_1,\xi_2), \text{使得} g''(\xi) = 0. \text{与条件相矛盾.} \\ \\ &\quad \text{故在} (a,b) \text{内} g(x) \neq 0. \end{aligned} 证：(1) 用反证法. 假设∃c∈(a,b)满足g(c)=0.则由罗尔定理可得，∃ξ1∈(a,c), ξ2∈(c,b)使得g′(ξ1)=g′(ξ2)=0再由罗尔定理可得：∃ξ∈(ξ1,ξ2),使得g′′(ξ)=0.与条件相矛盾.故在(a,b)内g(x)=0.
分析：f(ξ)g′′(ξ)−f′′(ξ)g(ξ)=0f(x)g′′(x)+f′(x)g′(x)−(f′(x)g′(x)+f′′(x)g(x)) \begin{aligned} &\text{分析：} f(\xi)g''(\xi) - f''(\xi)g(\xi) = 0 \\ \\ &f(x)g''(x) + f'(x)g'(x) -( f'(x)g'(x) + f''(x)g(x)) \end{aligned} 分析：f(ξ)g′′(ξ)−f′′(ξ)g(ξ)=0f(x)g′′(x)+f′(x)g′(x)−(f′(x)g′(x)+f′′(x)g(x))
(2)设F(x)=f(x)g′(x)−f′(x)g(x), F(a)=F(b)=0∃ξ∈(a,b),满足F′(ξ)=0,即f(ξ)g′′(ξ)−f′′(ξ)g(ξ)=0,整理后可得f(ξ)g(ξ)=f′′(ξ)g′′(ξ). \begin{aligned} &(2) \text{设} F(x) = f(x)g'(x) - f'(x)g(x),\ F(a) = F(b) = 0 \\ &\quad \exists \xi \in (a,b), \text{满足} F'(\xi) = 0, \text{即} \\ &\quad f(\xi)g''(\xi) - f''(\xi)g(\xi) = 0, \text{整理后可得} \frac{f(\xi)}{g(\xi)} = \frac{f''(\xi)}{g''(\xi)}. \end{aligned} (2)设F(x)=f(x)g′(x)−f′(x)g(x), F(a)=F(b)=0∃ξ∈(a,b),满足F′(ξ)=0,即f(ξ)g′′(ξ)−f′′(ξ)g(ξ)=0,整理后可得g(ξ)f(ξ)=g′′(ξ)f′′(ξ).
【小结】常见的构造辅助函数的方法有如下三种：1.直接积分法：先移项把结论整理成F′(ξ)=0，此时左端即为F′(ξ)，可以得到F′(x)，再积分求出一个原函数即可以得到辅助函数F(x)；2.结论是两部分相加，考虑凑导数公式(uv)′=u′v+uv′；3.形如f(n)(ξ)+p(ξ)f(n−1)(ξ)=0辅助函数的构造方法：两边同除f(n−1)(ξ)，得到f(n)(ξ)f(n−1)(ξ)+p(ξ)=0再积分即可得到F(x)=e∫p(x)dxf(n−1)(x)。还应注意，积分求辅助函数的时候，要会灵活运用分部积分等积分技巧. \begin{aligned} &\text{【小结】常见的构造辅助函数的方法有如下三种：} \\ \\ &1.\text{直接积分法：先移项把结论整理成} F'(\xi)=0，\text{此时左端即为} F'(\xi)，\text{可以得到} F'(x)， \\ &\text{再积分求出一个原函数即可以得到辅助函数} F(x)； \\ \\ &2.\text{结论是两部分相加，考虑凑导数公式} (uv)'=u'v+uv'； \\ \\ &3.\text{形如} f^{(n)}(\xi)+p(\xi)f^{(n-1)}(\xi)=0 \text{辅助函数的构造方法：两边同除} f^{(n-1)}(\xi)，\text{得到} \\ &\quad \frac{f^{(n)}(\xi)}{f^{(n-1)}(\xi)} + p(\xi)=0 \text{再积分即可得到} F(x)=e^{\int p(x)dx}f^{(n-1)}(x)。 \\ \\ &\text{还应注意，积分求辅助函数的时候，要会灵活运用分部积分等积分技巧.} \end{aligned} 【小结】常见的构造辅助函数的方法有如下三种：1.直接积分法：先移项把结论整理成F′(ξ)=0，此时左端即为F′(ξ)，可以得到F′(x)，再积分求出一个原函数即可以得到辅助函数F(x)；2.结论是两部分相加，考虑凑导数公式(uv)′=u′v+uv′；3.形如f(n)(ξ)+p(ξ)f(n−1)(ξ)=0辅助函数的构造方法：两边同除f(n−1)(ξ)，得到f(n−1)(ξ)f(n)(ξ)+p(ξ)=0再积分即可得到F(x)=e∫p(x)dxf(n−1)(x)。还应注意，积分求辅助函数的时候，要会灵活运用分部积分等积分技巧.
辅助函数的构造数值型：f′(ξ)+f(ξ)=0.f′(x)+f(x)=0, exf′(x)+exf(x)=0, F(x)=exf(x)f′(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0.e∫g(x)dxf′(x)+(e∫g(x)dx)′f(x)=0, F(x)=e∫g(x)dxf(x) \begin{aligned} &\text{辅助函数的构造} \\ \\ &\text{数值型：} \\ &f'(\xi) + f(\xi) = 0. \quad f'(x) + f(x) = 0,\ e^x f'(x) + e^x f(x) = 0,\ F(x) = e^x f(x) \\ \\ &f'(\xi) + g(\xi)f(\xi) = 0. \quad e^{\int g(x)dx} f'(x) + \left(e^{\int g(x)dx}\right)' f(x) = 0,\ F(x) = e^{\int g(x)dx} f(x) \end{aligned} 辅助函数的构造数值型：f′(ξ)+f(ξ)=0.f′(x)+f(x)=0, exf′(x)+exf(x)=0, F(x)=exf(x)f′(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0.e∫g(x)dxf′(x)+(e∫g(x)dx)′f(x)=0, F(x)=e∫g(x)dxf(x)
![![[Pasted image 20251213170425.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/0ede3bfa55cd4c6a94f29cc1428e75db.png)
证：(1) 令F(x)=f(x)−x, F(1)=0, F(0)=f(0)−0=0,则由罗尔定理可知：∃ξ∈(0,1)使得f′(ξ)=1 \begin{aligned} &\text{证：(1) 令} F(x) = f(x) - x,\ F(1) = 0,\ F(0) = f(0) - 0 = 0, \\ &\quad \text{则由罗尔定理可知：} \exists \xi \in (0,1) \text{使得} f'(\xi) = 1 \end{aligned} 证：(1) 令F(x)=f(x)−x, F(1)=0, F(0)=f(0)−0=0,则由罗尔定理可知：∃ξ∈(0,1)使得f′(ξ)=1
(2)令F(x)=ex(f′(x)−1)F(ξ)=0, f(x)为奇函数，f′(x)为偶函数f′(−ξ)=1, F(−ξ)=0,∃η∈(−ξ,ξ)⊂(−1,1),使得F′(η)=0整理后可得f′′(η)+f′(η)=1, ∃η∈(−1,1). \begin{aligned} &(2) \text{令} F(x) = e^x \left(f'(x) - 1\right) \\ &\quad F(\xi) = 0,\ f(x) \text{为奇函数，} f'(x) \text{为偶函数} \\ &\quad f'(-\xi) = 1,\ F(-\xi) = 0, \\ &\quad \exists \eta \in (-\xi,\xi) \subset (-1,1), \text{使得} F'(\eta) = 0 \\ &\quad \text{整理后可得} f''(\eta) + f'(\eta) = 1,\ \exists \eta \in (-1,1). \end{aligned} (2)令F(x)=ex(f′(x)−1)F(ξ)=0, f(x)为奇函数，f′(x)为偶函数f′(−ξ)=1, F(−ξ)=0,∃η∈(−ξ,ξ)⊂(−1,1),使得F′(η)=0整理后可得f′′(η)+f′(η)=1, ∃η∈(−1,1).
【小结】u⋅v型的辅助函数常用的构造技巧：(1) ξf′+f→F=xf；(2) f′+λf→F=eλxf；(3) f⋅f′→F=f2。 \begin{aligned} &\text{【小结】} u \cdot v \text{型的辅助函数常用的构造技巧：} \\ \\ &(1) \ \xi f' + f \to F = xf； \\ \\ &(2) \ f' + \lambda f \to F = e^{\lambda x}f； \\ \\ &(3) \ f \cdot f' \to F = f^2。 \end{aligned} 【小结】u⋅v型的辅助函数常用的构造技巧：(1) ξf′+f→F=xf；(2) f′+λf→F=eλxf；(3) f⋅f′→F=f2。
![![[Pasted image 20251213170455.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/f483913af391426f9842c5f907f899e7.png)
分析：f′(x)=(1−1x)f(x)f′(x)+(1x−1)f(x)=0F(x)=e∫(1x−1)dxf(x)=xe−x+Cf(x) (C∈R)令C=1,与题中函数类似 \begin{aligned} &\text{分析：} \\ &f'(x) = \left(1-\frac{1}{x}\right)f(x) \\ &f'(x) + \left(\frac{1}{x}-1\right)f(x) = 0 \\ \\ &F(x) = e^{\int \left(\frac{1}{x}-1\right)dx} f(x) \\ &\quad = x e^{-x + C} f(x) \ (C \in \mathbb{R}) \\ \\ &\text{令} C=1, \text{与题中函数类似} \end{aligned} 分析：f′(x)=(1−x1)f(x)f′(x)+(x1−1)f(x)=0F(x)=e∫(x1−1)dxf(x)=xe−x+Cf(x) (C∈R)令C=1,与题中函数类似
解：令F(x)=xe1−xf(x), F(1)=f(1)由积分中值定理可知，F(η)=k⋅1k⋅ηe1−ηf(η)=f(1)=F(1)由罗尔定理可知，∃ξ∈(η,1)⊂(0,1)使得F′(η)=0,即f′(ξ)=(1−1ξ)f(ξ) \begin{aligned} &\text{解：令} F(x) = x e^{1-x} f(x),\ F(1) = f(1) \\ &\quad \text{由积分中值定理可知，} \\ &F(\eta) = k \cdot \frac{1}{k} \cdot \eta e^{1-\eta} f(\eta) = f(1) = F(1) \\ \\ &\text{由罗尔定理可知，} \exists \xi \in (\eta,1) \subset (0,1) \text{使得} \\ &F'(\eta) = 0, \text{即} f'(\xi) = \left(1-\frac{1}{\xi}\right)f(\xi) \end{aligned} 解：令F(x)=xe1−xf(x), F(1)=f(1)由积分中值定理可知，F(η)=k⋅k1⋅ηe1−ηf(η)=f(1)=F(1)由罗尔定理可知，∃ξ∈(η,1)⊂(0,1)使得F′(η)=0,即f′(ξ)=(1−ξ1)f(ξ)
【小结】积分的区间长度和前面乘的系数如果是1，这个时候被积函数直接取为辅助函数。 \begin{aligned} &\text{【小结】积分的区间长度和前面乘的系数如果是1，这个时候被积函数直接取为辅助函} \\ &\text{数。} \end{aligned} 【小结】积分的区间长度和前面乘的系数如果是1，这个时候被积函数直接取为辅助函数。
![![[Pasted image 20251213170529.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/fc06f7141ebf43bb9ab20e4c3305a3bc.png)
分析f(ξ)=(2−ξ)f′(ξ)f(ξ)+(ξ−2)f′(ξ)=0f′(x)+1x−2f(x)=0F(x)=e∫1x−2dxf(x)=eln∣x−2∣f(x)=(x−2)f(x) \begin{aligned} &分析\\&f(\xi) = (2-\xi)f'(\xi) \\ &f(\xi) + (\xi-2)f'(\xi) = 0 \\ &f'(x) + \frac{1}{x-2}f(x) = 0 \\ \\ &F(x) = e^{\int \frac{1}{x-2}dx} f(x) \\ &\quad = e^{\ln|x-2|} f(x) \\ &\quad = (x-2)f(x) \end{aligned} 分析f(ξ)=(2−ξ)f′(ξ)f(ξ)+(ξ−2)f′(ξ)=0f′(x)+x−21f(x)=0F(x)=e∫x−21dxf(x)=eln∣x−2∣f(x)=(x−2)f(x)
证：(1) 设F(x)=(x−2)f(x). F(1)=F(2)=0故由罗尔定理可知，∃ξ∈(1,2)使得F′(ξ)=0即f(ξ)=(2−ξ)eξ2 \begin{aligned} &\text{证：(1) 设} F(x) = (x-2)f(x).\ F(1) = F(2) = 0 \\ &\quad \text{故由罗尔定理可知，} \exists \xi \in (1,2) \text{使得} F'(\xi) = 0 \\ &\quad \text{即} f(\xi) = (2-\xi)e^{\xi^2} \end{aligned} 证：(1) 设F(x)=(x−2)f(x). F(1)=F(2)=0故由罗尔定理可知，∃ξ∈(1,2)使得F′(ξ)=0即f(ξ)=(2−ξ)eξ2
分析f(2)η−ln2⋅eη2=0f(2)x−ln2⋅ex2=0f(2)x−ln2⋅f′(x)=0(f(2)lnx−ln2⋅f(x))′ \begin{aligned} &分析\\&\frac{f(2)}{\eta} - \ln 2 \cdot e^{\eta^2} = 0 \quad \frac{f(2)}{x} - \ln 2 \cdot e^{x^2} = 0 \\ &\frac{f(2)}{x} - \ln 2 \cdot f'(x) = 0 \\ &\left(f(2)\ln x - \ln 2 \cdot f(x)\right)' \end{aligned} 分析ηf(2)−ln2⋅eη2=0xf(2)−ln2⋅ex2=0xf(2)−ln2⋅f′(x)=0(f(2)lnx−ln2⋅f(x))′
(2)G(x)=f(x)lnx−ln2⋅f(x),G(1)=0, G(2)=0,故由罗尔定理可知，∃η∈(1,2)使得G′(η)=0,即f(η)=ln2⋅ηeη2 \begin{aligned} &(2) G(x) = f(x)\ln x - \ln 2 \cdot f(x), \\ &\quad G(1) = 0,\ G(2) = 0, \\ &\quad \text{故由罗尔定理可知，} \exists \eta \in (1,2) \text{使得} G'(\eta) = 0, \text{即} f(\eta) = \ln 2 \cdot \eta e^{\eta^2} \end{aligned} (2)G(x)=f(x)lnx−ln2⋅f(x),G(1)=0, G(2)=0,故由罗尔定理可知，∃η∈(1,2)使得G′(η)=0,即f(η)=ln2⋅ηeη2
【小结】运用柯西中值定理，一定要有两个函数，两个点，一个中值。如果题目中没有直接给出两个点，可以根据条件判断是否有隐含的点。 \begin{aligned} &\text{【小结】运用柯西中值定理，一定要有两个函数，两个点，一个中值。如果题目中没有} \\ &\text{直接给出两个点，可以根据条件判断是否有隐含的点。} \end{aligned} 【小结】运用柯西中值定理，一定要有两个函数，两个点，一个中值。如果题目中没有直接给出两个点，可以根据条件判断是否有隐含的点。
双中值问题
![![[Pasted image 20251213170801.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/e867093bbeda4227a2b0ace67e0e5f3e.png)
证：(1) 令F(x)=f(x)+x−1, F(x)在[0,1]上连续.F(0)=−1<0, F(1)=1>0,故由零点定理可知，∃ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1−ξ. \begin{aligned} &\text{证：(1) 令} F(x) = f(x) + x - 1,\ F(x) \text{在} [0,1] \text{上连续}. \\ &F(0) = -1 < 0,\ F(1) = 1 > 0, \\ &\text{故由零点定理可知，} \exists \xi \in (0,1), \text{使得} f(\xi) = 1 - \xi. \end{aligned} 证：(1) 令F(x)=f(x)+x−1, F(x)在[0,1]上连续.F(0)=−1<0, F(1)=1>0,故由零点定理可知，∃ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1−ξ.
(2)由拉格朗日中值定理可知：∃η∈(0,ξ), f(ξ)−f(0)ξ−0=f′(η),即1−ξξ=f′(η)∃ζ∈(ξ,1), f(1)−f(ξ)1−ξ=f′(ζ),即1−(1−ξ)1−ξ=f′(ζ)故f′(η)f′(ζ)=1 \begin{aligned} &(2) \text{由拉格朗日中值定理可知：} \\ &\exists \eta \in (0,\xi),\ \frac{f(\xi)-f(0)}{\xi - 0} = f'(\eta), \text{即} \frac{1-\xi}{\xi} = f'(\eta) \\ &\exists \zeta \in (\xi,1),\ \frac{f(1)-f(\xi)}{1 - \xi} = f'(\zeta), \text{即} \frac{1-(1-\xi)}{1-\xi} = f'(\zeta) \\ \\ &\text{故} f'(\eta) f'(\zeta) = 1 \end{aligned} (2)由拉格朗日中值定理可知：∃η∈(0,ξ), ξ−0f(ξ)−f(0)=f′(η),即ξ1−ξ=f′(η)∃ζ∈(ξ,1), 1−ξf(1)−f(ξ)=f′(ζ),即1−ξ1−(1−ξ)=f′(ζ)故f′(η)f′(ζ)=1
【小结】1.当ξ,η具有轮换对称性或题目中明确要求ξ,η互不相同时一般使用拉格朗日中值定理。2.具体解题步骤是：（1）寻找一点c，将区间[a,b]分成两个小区间[a,c]和[c,b]；（此步为做题的关键）；（2）分别在每个区间上使用拉格朗日中值定理；（3）合并两式. \begin{aligned} &\text{【小结】}1.\text{当} \xi,\eta \text{具有轮换对称性或题目中明确要求} \xi,\eta \text{互不相同时一般使用拉格朗日} \\ &\text{中值定理。} \\ \\ &2.\text{具体解题步骤是：（1）寻找一点} c \text{，将区间} [a,b] \text{分成两个小区间} [a,c] \text{和} [c,b]；（\text{此} \\ &\text{步为做题的关键）；（2）分别在每个区间上使用拉格朗日中值定理；（3）合并两式.} \end{aligned} 【小结】1.当ξ,η具有轮换对称性或题目中明确要求ξ,η互不相同时一般使用拉格朗日中值定理。2.具体解题步骤是：（1）寻找一点c，将区间[a,b]分成两个小区间[a,c]和[c,b]；（此步为做题的关键）；（2）分别在每个区间上使用拉格朗日中值定理；（3）合并两式.
![![[Pasted image 20251213170950.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/efdea4a5d53b475cba91dcb267005292.png)
证：令g1(x)=x, g2(x)=ex则将g1(x)与f(x)在[a,b]上用柯西中值定理：∃ξ∈(a,b), f(b)−f(a)g1(b)−g1(a)=f′(ξ)g1′(ξ),即f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)1①再将g2(x)与f(x)在[a,b]上用柯西中值定理：∃η∈(a,b), f(b)−f(a)g2(b)−g2(a)=f′(η)g2′(η),即f(b)−f(a)eb−ea=f′(η)eη②①②相比得：f′(ξ)f′(η)=eb−eab−a⋅e−η \begin{aligned} &\text{证：令} g_1(x) = x,\ g_2(x) = e^x \\ \\ &\text{则将} g_1(x) \text{与} f(x) \text{在} [a,b] \text{上用柯西中值定理：} \\ &\exists \xi \in (a,b),\ \frac{f(b)-f(a)}{g_1(b)-g_1(a)} = \frac{f'(\xi)}{g_1'(\xi)}, \text{即} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{f'(\xi)}{1} \quad ① \\ \\ &\text{再将} g_2(x) \text{与} f(x) \text{在} [a,b] \text{上用柯西中值定理：} \\ &\exists \eta \in (a,b),\ \frac{f(b)-f(a)}{g_2(b)-g_2(a)} = \frac{f'(\eta)}{g_2'(\eta)}, \text{即} \frac{f(b)-f(a)}{e^b - e^a} = \frac{f'(\eta)}{e^\eta} \quad ② \\ \\ &①② \text{相比得：} \frac{f'(\xi)}{f'(\eta)} = \frac{e^b - e^a}{b-a} \cdot e^{-\eta} \end{aligned} 证：令g1(x)=x, g2(x)=ex则将g1(x)与f(x)在[a,b]上用柯西中值定理：∃ξ∈(a,b), g1(b)−g1(a)f(b)−f(a)=g1′(ξ)f′(ξ),即b−af(b)−f(a)=1f′(ξ)①再将g2(x)与f(x)在[a,b]上用柯西中值定理：∃η∈(a,b), g2(b)−g2(a)f(b)−f(a)=g2′(η)f′(η),即eb−eaf(b)−f(a)=eηf′(η)②①②相比得：f′(η)f′(ξ)=b−aeb−ea⋅e−η
【小结】1.当ξ,η不具有轮换对称性，题目中也未要求ξ,η互不相同时使用柯西中值定理，证明思路如下：（1）寻找两个函数g1(x),g2(x)；（2）g1(x),g2(x)分别和f(x)搭配使用柯西中值定理：f(b)−f(a)g1(b)−g1(a)=f′(ξ)g1′(ξ),f(b)−f(a)g2(b)−g2(a)=f′(η)g2′(η)；（3）合并上述两式。2、函数g1(x),g2(x)的构造，基本思路如下：（1）把结论中ξ有关的放一起，η有关的放一起，即整理成f′(ξ)g1′(ξ),f′(η)g2′(η)形式；（2）从中读出g1′(ξ),g2′(η)进而得出两个辅助函数g1(x),g2(x)。 \begin{aligned} &\text{【小结】}1.\text{当} \xi,\eta \text{不具有轮换对称性，题目中也未要求} \xi,\eta \text{互不相同时使用柯西中值定} \\ &\text{理，证明思路如下：（1）寻找两个函数} g_1(x),g_2(x)；（2）g_1(x),g_2(x) \text{分别和} f(x) \\ &\text{搭配使用柯西中值定理：} \frac{f(b)-f(a)}{g_1(b)-g_1(a)} = \frac{f'(\xi)}{g_1'(\xi)}, \frac{f(b)-f(a)}{g_2(b)-g_2(a)} = \frac{f'(\eta)}{g_2'(\eta)}；（3）\text{合并上} \\ &\text{述两式。} \\ \\ &2、\text{函数} g_1(x),g_2(x) \text{的构造，基本思路如下：} \\ &（1）\text{把结论中} \xi \text{有关的放一起，} \eta \text{有关的放一起，即整理成} \frac{f'(\xi)}{g_1'(\xi)}, \frac{f'(\eta)}{g_2'(\eta)} \text{形式；} \\ &（2）\text{从中读出} g_1'(\xi),g_2'(\eta) \text{进而得出两个辅助函数} g_1(x),g_2(x)。 \end{aligned} 【小结】1.当ξ,η不具有轮换对称性，题目中也未要求ξ,η互不相同时使用柯西中值定理，证明思路如下：（1）寻找两个函数g1(x),g2(x)；（2）g1(x),g2(x)分别和f(x)搭配使用柯西中值定理：g1(b)−g1(a)f(b)−f(a)=g1′(ξ)f′(ξ),g2(b)−g2(a)f(b)−f(a)=g2′(η)f′(η)；（3）合并上述两式。2、函数g1(x),g2(x)的构造，基本思路如下：（1）把结论中ξ有关的放一起，η有关的放一起，即整理成g1′(ξ)f′(ξ),g2′(η)f′(η)形式；（2）从中读出g1′(ξ),g2′(η)进而得出两个辅助函数g1(x),g2(x)。
泰勒中值定理
![![[Pasted image 20251213171217.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/f9ca6d21b11f4370a364bd6e6be464dc.png)
Taylor（泰勒）公式：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1(ξ介于x与x0之间)例：f(x)=x2+2x+1, f(1)=12+2⋅1+1, f(2)=22+2⋅2+1泰勒中值定理：表达式中的ξ是随着x的变化而变化的. \begin{aligned} &\text{ Taylor（泰勒）公式：} \\ &f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \\ &\quad (\xi \text{介于} x \text{与} x_0 \text{之间}) \\ \\ &\text{例：} f(x) = x^2 + 2x + 1, \ f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 + 1, \ f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 \\ \\ &\text{泰勒中值定理：表达式中的} \xi \text{是随着} x \text{的变化而变化的.} \end{aligned} Taylor（泰勒）公式：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+(n+1)!f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1(ξ介于x与x0之间)例：f(x)=x2+2x+1, f(1)=12+2⋅1+1, f(2)=22+2⋅2+1泰勒中值定理：表达式中的ξ是随着x的变化而变化的.
证：在x=0处用泰勒中值定理f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(ξ)3!x3(ξ介于0与x之间)f(1)=f(0)+f′(0)⋅1+f′′(0)2!⋅12+f′′′(ξ1)3!⋅13ξ1∈(0,1)①f(−1)=f(0)+f′(0)⋅(−1)+f′′(0)2⋅(−1)2+f′′′(ξ2)3⋅(−1)3ξ2∈(−1,0)②①−②相减得：f′′′(ξ1)+f′′′(ξ2)=6由f′′′(x)的连续性，设f′′′(x)在[−1,1]上的最小值为m,最大值为M.2m≤f′′′(ξ1)+f′′′(ξ2)=6≤2M,由介值定理可知，∃ξ∈(ξ2,ξ1)⊂[−1,1],使得f′′′(ξ)=3. \begin{aligned} &\text{证：在} x=0 \text{处用泰勒中值定理} \\ &f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(\xi)}{3!}x^3 \quad (\xi \text{介于} 0 \text{与} x \text{之间}) \\ \\ &f(1) = f(0) + f'(0) \cdot 1 + \frac{f''(0)}{2!} \cdot 1^2 + \frac{f'''(\xi_1)}{3!} \cdot 1^3 \quad \xi_1 \in (0,1) \quad ① \\ &f(-1) = f(0) + f'(0) \cdot (-1) + \frac{f''(0)}{2} \cdot (-1)^2 + \frac{f'''(\xi_2)}{3} \cdot (-1)^3 \quad \xi_2 \in (-1,0) \quad ② \\ \\ &① - ② \text{相减得：} f'''(\xi_1) + f'''(\xi_2) = 6 \\ \\ &\text{由} f'''(x) \text{的连续性，设} f'''(x) \text{在} [-1,1] \text{上的最小值为} m, \text{最大值为} M. \\ &\quad 2m \leq f'''(\xi_1) + f'''(\xi_2) = 6 \leq 2M, \\ &\text{由介值定理可知，} \exists \xi \in (\xi_2,\xi_1) \subset [-1,1], \text{使得} f'''(\xi) = 3. \end{aligned} 证：在x=0处用泰勒中值定理f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+3!f′′′(ξ)x3(ξ介于0与x之间)f(1)=f(0)+f′(0)⋅1+2!f′′(0)⋅12+3!f′′′(ξ1)⋅13ξ1∈(0,1)①f(−1)=f(0)+f′(0)⋅(−1)+2f′′(0)⋅(−1)2+3f′′′(ξ2)⋅(−1)3ξ2∈(−1,0)②①−②相减得：f′′′(ξ1)+f′′′(ξ2)=6由f′′′(x)的连续性，设f′′′(x)在[−1,1]上的最小值为m,最大值为M.2m≤f′′′(ξ1)+f′′′(ξ2)=6≤2M,由介值定理可知，∃ξ∈(ξ2,ξ1)⊂[−1,1],使得f′′′(ξ)=3.
【小结】1.对于泰勒中值定理，首先要会识别，当题目中出现二阶及二阶以上的高阶导数时，考虑泰勒中值定理；2.如果函数n+1可导，则使用泰勒中值定理一般展开到n阶；3.关于泰勒中值定理在哪一点展开是这部分的难点，基本思路是看题目中函数在哪一点给的信息最多，就在哪一点展开。特别的，如果题目中已知函数f(x)在某一点x=x0处的导数值，使用泰勒公式时一般就直接在该点展开。 \begin{aligned} &\text{【小结】}1.\text{对于泰勒中值定理，首先要会识别，当题目中出现二阶及二阶以上的高阶导} \\ &\text{数时，考虑泰勒中值定理；} \\ \\ &2.\text{如果函数} n+1 \text{可导，则使用泰勒中值定理一般展开到} n \text{阶；} \\ \\ &3.\text{关于泰勒中值定理在哪一点展开是这部分的难点，基本思路是看题目中函数在哪一点} \\ &\text{给的信息最多，就在哪一点展开。特别的，如果题目中已知函数} f(x) \text{在某一点} x=x_0 \text{处} \\ &\text{的导数值，使用泰勒公式时一般就直接在该点展开。} \end{aligned} 【小结】1.对于泰勒中值定理，首先要会识别，当题目中出现二阶及二阶以上的高阶导数时，考虑泰勒中值定理；2.如果函数n+1可导，则使用泰勒中值定理一般展开到n阶；3.关于泰勒中值定理在哪一点展开是这部分的难点，基本思路是看题目中函数在哪一点给的信息最多，就在哪一点展开。特别的，如果题目中已知函数f(x)在某一点x=x0处的导数值，使用泰勒公式时一般就直接在该点展开。
零点问题
![![[Pasted image 20251214212451.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/51b932b5cb284dd9b2d0e86593d26896.png)
解：x=0显然为一个根.x≠0时，令F(x)=xarctanx−k,F′(x)=arctanx−x1+x2arctan2x令g(x)=arctanx−x1+x2,g′(x)=11+x2−11+x2−x⋅(−2x(1+x2)2)=2x2(1+x2)2>0g(x)单调递增，g(0)=0.x<0时，F′(x)<0,F(x)单调递减；x>0时，F′(x)>0,F(x)单调递增.limx→0F(x)=1−k.当1−k>0时，方程有一个根x=0;当1−k=0时，方程有一个根x=0;当1−k<0时，方程有三个根. \begin{aligned} &\text{解：} x=0 \text{显然为一个根.} \\ &x \neq 0 \text{时，令} F(x) = \frac{x}{\arctan x} - k, \\ &F'(x) = \frac{\arctan x - \frac{x}{1+x^2}}{\arctan^2 x} \\ \\ &\text{令} g(x) = \arctan x - \frac{x}{1+x^2}, \\ &g'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} - x \cdot \left(-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\right) = \frac{2x^2}{(1+x^2)^2} > 0 \\ \\ &g(x) \text{单调递增，} g(0) = 0. \\ &x < 0 \text{时，} F'(x) < 0, F(x) \text{单调递减；} \\ &x > 0 \text{时，} F'(x) > 0, F(x) \text{单调递增.} \\ \\ &\lim_{x \to 0} F(x) = 1 - k. \\ &\text{当} 1 - k > 0 \text{时，方程有一个根} x=0; \\ &\text{当} 1 - k = 0 \text{时，方程有一个根} x=0; \\ &\text{当} 1 - k < 0 \text{时，方程有三个根.} \end{aligned} 解：x=0显然为一个根.x=0时，令F(x)=arctanxx−k,F′(x)=arctan2xarctanx−1+x2x令g(x)=arctanx−1+x2x,g′(x)=1+x21−1+x21−x⋅(−(1+x2)22x)=(1+x2)22x2>0g(x)单调递增，g(0)=0.x<0时，F′(x)<0,F(x)单调递减；x>0时，F′(x)>0,F(x)单调递增.x→0limF(x)=1−k.当1−k>0时，方程有一个根x=0;当1−k=0时，方程有一个根x=0;当1−k<0时，方程有三个根.
【小结】讨论或证明方程根的个数用到的理论有两个：单调性与零点存在定理。基本步骤如下：①确定函数的单调区间；②确定单调区间分界点函数值的符号（端点不在定义域内的用极限代替）；③在每个单调区间上使用零点存在定理。 \begin{aligned} &\text{【小结】讨论或证明方程根的个数用到的理论有两个：单调性与零点存在定理。} \\ &\text{基本步骤如下：} \\ &① \text{确定函数的单调区间；} \\ &② \text{确定单调区间分界点函数值的符号（端点不在定义域内的用极限代替）；} \\ &③ \text{在每个单调区间上使用零点存在定理。} \end{aligned} 【小结】讨论或证明方程根的个数用到的理论有两个：单调性与零点存在定理。基本步骤如下：①确定函数的单调区间；②确定单调区间分界点函数值的符号（端点不在定义域内的用极限代替）；③在每个单调区间上使用零点存在定理。
![![[Pasted image 20251214212537.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ec9b8273308c4ac4851cbf2a39d9bccf.png)
解：f(0)=f(1)=f(2)=0,∃ξ1∈(0,1), ξ2∈(1,2),使得f′(ξ1)=0, f′(ξ2)=0,故f′(x)有两个零点；f(x)中含x2,x的次数为2, f′(x)=2x(x−1)(x−2)+x2[(x−1)(x−2)]′, f′(0)=0故f′(x)至少有三个零点. \begin{aligned} &\text{解：} f(0)=f(1)=f(2)=0, \\ &\quad \exists \xi_1 \in (0,1),\ \xi_2 \in (1,2), \text{使得} f'(\xi_1)=0,\ f'(\xi_2)=0, \text{故} f'(x) \text{有两个零点；} \\ \\ &f(x) \text{中含} x^2, x \text{的次数为} 2,\ f'(x)=2x(x-1)(x-2)+x^2\left[(x-1)(x-2)\right]',\ f'(0)=0 \\ &\text{故} f'(x) \text{至少有三个零点.} \end{aligned} 解：f(0)=f(1)=f(2)=0,∃ξ1∈(0,1), ξ2∈(1,2),使得f′(ξ1)=0, f′(ξ2)=0,故f′(x)有两个零点；f(x)中含x2,x的次数为2, f′(x)=2x(x−1)(x−2)+x2[(x−1)(x−2)]′, f′(0)=0故f′(x)至少有三个零点.
选(D)f(x)是四次多项式，f′(x)是三次多项式. 至多有三个零点，则f′(x)仅有3个零点. \begin{aligned} &\text{选(D)} \\ &f(x) \text{是四次多项式，} f'(x) \text{是三次多项式. 至多有三个零点，则} f'(x) \text{仅有3个零点.} \end{aligned} 选(D)f(x)是四次多项式，f′(x)是三次多项式. 至多有三个零点，则f′(x)仅有3个零点.
【小结】讨论导数的零点问题一般要用到三方面的知识：1.罗尔定理：如果f(x)具有n个零点，那么f′(x)至少有n−1个零点；2.泰勒公式：如果x=a为f(x)的n重根（f(x)与(x−a)n同阶），则x=a为f′(x)的n−1重根；3.代数基本定理：n次多项式至多有n个零点. \begin{aligned} &\text{【小结】讨论导数的零点问题一般要用到三方面的知识：} \\ &1.\text{罗尔定理：如果} f(x) \text{具有} n \text{个零点，那么} f'(x) \text{至少有} n-1 \text{个零点；} \\ \\ &2.\text{泰勒公式：如果} x = a \text{为} f(x) \text{的} n \text{重根（} f(x) \text{与} (x-a)^n \text{同阶），则} x = a \text{为} f'(x) \text{的} \\ &\quad n-1 \text{重根；} \\ \\ &3.\text{代数基本定理：} n \text{次多项式至多有} n \text{个零点.} \end{aligned} 【小结】讨论导数的零点问题一般要用到三方面的知识：1.罗尔定理：如果f(x)具有n个零点，那么f′(x)至少有n−1个零点；2.泰勒公式：如果x=a为f(x)的n重根（f(x)与(x−a)n同阶），则x=a为f′(x)的n−1重根；3.代数基本定理：n次多项式至多有n个零点.
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