【JZOJ 5451】【NOIP2017提高A组冲刺11.4】Genocide

最新推荐文章于 2017-11-06 19:33:38 发布

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#斜率优化

本文介绍了一种基于斜率优化的算法实现方案，通过预处理三个数组来解决多个询问的问题，利用分治策略提高效率，并提供了详细的代码实现。

Description

这里写图片描述

Solution

显然的斜率优化，
如果只有一个询问的话直接做即可，
多个询问的话，考虑预处理3个数组： $f_i,g_i,h_i$ 分别表示：从前向后做到i，最大的答案；从后向前做到i，最大的答案；i一定选的最大答案。
f,g好做，主要是h，这个用分治来做，
$h_x=\max\{ f_{i-1}+g_{j+1}-sum_{j}+sum_{i-1}+(j-i+1)(j-i+2)/2 \}(i\leq x\leq j)$

处理跨过mid的i,j对的答案，
枚举i，发现h的式子中的j可以写成斜率的样子，这样就可以快速找到i对应最优的j了。

复杂度： $O(n\log(n))$

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define min(q,w) ((q)<(w)?(q):(w))
#define max(q,w) ((q)>(w)?(q):(w))
#define JS(q,i) (f[q]+sum[q]-sum[i]+(LL)(((i)-(q))*((i)-(q)+1)/2))
#define pre(j) ((LL)(j)*(j))
#define XL(j) (f[j]*2+sum[j]*2+pre(j)-(LL)(j))
#define XLg(j) (g[j+1]*2-sum[j]*2+pre(j)+3*(LL)(j))
#define iXL(i,j) (2*((i)-(j)))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=300500,mo=1e9+7;
int read(int &n)
{
    int w=1;n=0;char ch=' ';
    for(;ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9');ch=getchar());
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    for(;ch<='9'&&ch>='0';ch=getchar())n=n*10+ch-48;
    return n=w*n;
}
int n,m;
LL f[N],g[N],h[N],h1[N];
int a[N];
int za[N];
LL sum[N];
void Doit()
{
    za[za[0]=1]=0;
    fo(i,1,n)
    {
        f[i]=-2e16;
        for(;za[0]>1&&XL(za[za[0]])-XL(za[za[0]-1])<i*iXL(za[za[0]],za[za[0]-1]);za[0]--);
        f[i]=max(JS(za[za[0]],i),f[i-1]);
        for(;za[0]>1&&(XL(za[za[0]])-XL(za[za[0]-1]))*iXL(i,za[za[0]])<
            (XL(i)-XL(za[za[0]]))*iXL(za[za[0]],za[za[0]-1]);za[0]--);
        za[++za[0]]=i;
    }
}
void divide(int l,int r)
{
    if(l==r){h[l]=max(h[l],1-a[l]);return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    za[0]=0;
    fo(i,mid+1,r)
    {
        for(;za[0]>1&&(XLg(za[za[0]])-XLg(za[za[0]-1]))*iXL(i,za[za[0]])<
             (XLg(i)-XLg(za[za[0]]))*iXL(za[za[0]],za[za[0]-1]);za[0]--);
        za[++za[0]]=i;
    }
    LL mx=-2e16;
    fo(i,l,mid)
    {
        for(;za[0]>1&&XLg(za[za[0]])-XLg(za[za[0]-1])<i*iXL(za[za[0]],za[za[0]-1]);za[0]--);
        int q=za[za[0]];
        mx=max(mx,f[i-1]+g[q+1]-sum[q]+sum[i-1]+(LL)(q-i+1)*(LL)(q-i+2)/2);
        h[i]=max(h[i],mx);
    }
    divide(l,mid);
    divide(mid+1,r);
}
int main()
{
    freopen("genocide.in","r",stdin);
    freopen("genocide.out","w",stdout);
    int q,w;
    read(n);
    fo(i,1,n)read(a[n-i+1]),h[i]=h1[i]=-2e16;
    fo(i,1,n)sum[i]=sum[i-1]+(LL)a[i];
    Doit();
    fo(i,1,n)g[n-i+1]=f[i];
    fo(i,1,n/2)swap(a[i],a[n-i+1]);
    fo(i,1,n+1)sum[i]=sum[i-1]+(LL)a[i];
    Doit();
    divide(1,n);
    fo(i,1,n/2)swap(a[i],a[n-i+1]);
    fo(i,1,n+1)sum[i]=sum[i-1]+(LL)a[i],swap(f[n-i+1],g[i]),swap(h[i],h1[i]);
    divide(1,n);
    fo(i,1,n/2)swap(h[i],h[n-i+1]);
    fo(i,1,n)h[i]=max(h[i],h1[i]),swap(f[n-i+1],g[i]);
    fo(i,1,n/2)swap(a[i],a[n-i+1]);
    read(m);
    fo(i,1,m)
    {
        read(q),read(w);
        printf("%lld\n",max(g[q+1]+f[q-1],h[q]+(LL)a[q]-(LL)w));
    }
    return 0;
}