2019.03.29【洛谷P4931】情侣？给我烧了！（加强版）（组合数学）（生成函数）

传送门

顺便把弱化版一起切了：P4921

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解析：

这种数数问题还是考虑分部分计算。

一，匹配的k对

这部分很简单，选出$k$个位置上火刑柱 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$，选出$k$对送到FFF大本营 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$，在$k$个位置里面选择$k!$，每一对两个人位置可以互换$2^k$。

所以这一部分的计算就是$${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^{2}k!2^k$$

二，不能匹配的n-k对

显然现在剩下的位置确定了，剩下的情侣也确定了。

也就是说，我们要求的就是$n-k$对情侣全部错开的方案数。

设$d_n$表示$n$对情侣全部错开的方案数。

接下来有两种方法求出 { d } \{d\} {d}数列的递推式，我第一次做的时候用的是第二种方法。

（1）组合分析

在第一排的两个位置放两个不是情侣的人，显然方案数是$2n(2n-2)$。

然后看这两个人的另一半，我们对这两个人的限制分情况讨论。

1.强制不坐在一起

那么相当于这两个人形成了新的情侣 （大自然的力量） ，直接从子问题$d_{n-1}$转移过来。

2.强制坐在一起

在剩下$n-1$排中任意选择一排，两人位置允许互换，子问题转化为$d_{n-2}$

综上，我们得到递推式：$$d_n=4n(n-1)(d_{n-1}+2(n-1)d_{n-2})$$

（2）生成函数分析

这种方法较为复杂，建议数学（微积分）基础较好再来尝试。

考虑配对对数为$[0,n]$的所有情况可以得到一个组合恒等式：$$\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^{2}k!2^k{d}_{n-k}=(2n)!$$

开始化简：
$$\begin{array}{rlrl}\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^{2}k!2^k{d}_{n-k}& =& & (2n)!\\ \sum _{k=0}^n\frac{2^k{d}_{n-k}}{k!(n-k){!}^2}& =& & \frac{(2n)!}{n{!}^2}\end{array}$$

好像是一个卷积的形式，两边进行$\sum _{n=0}^{\infty }$的求和，强行转化成EGF。

$$\begin{array}{r}(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^n}{n!}{x}^n)(\sum _{n=0}^{\infty }\frac{d_n}{n{!}^2}{x}^n)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{n{!}^2}{x}^n\end{array}$$

根据泰勒展开，我们可以知道$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{n{!}^2}{x}^n=(1-4x{)}^{-\frac{1}{2}}$$
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^n}{n!}{x}^n=e^{2x}$$

令$D(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{d_n}{n{!}^2}{x}^n$，则有

$$D(x)=\frac{e^{-2x}}{\sqrt{1-4x}}$$

当然如果你硬是要算通项公式的话，直接用$e^{-2x}$展开形式和${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{n!}{x}^n$做卷积可以得到

$$d_n=\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2(-2{)}^{k}k!(2n-2k)!$$

发现又是一个卷积，可以用$FFTO(n\log n)$做了，但是$5e6$就不要想了。。。

对$D(x)$求导得到$$D^{\prime }(x)=\frac{8x\cdot e^{-2x}}{(1-4x{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{8x}{1-4x}D(x)$$
$$(1-4x)D^{\prime }(x)=8xD(x)$$

对应项还原系数可以得到：

$$d_n=4n(n-1)(d_{n-1}+2(n-1)d_{n-2})$$

总算写完了

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define cs const

namespace IO{
	inline char get_char(){
		static cs int Rlen=1<<20|1;
		static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++; 
	}
	
	inline int getint(){
		re char c;
		while(!isdigit(c=gc()));re int num=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))num=(num+(num<<2)<<1)+(c^48);
		return num;
	}
}
using namespace IO;

cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a<b?a-b+mod:a-b;}
inline int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
inline int sqr(int a){return (ll)a*a%mod;}
template<class ...Args>
inline int mul(int a,Args ...args){
	return mul(a,mul(args...));
}

cs int N=5e6+6;
int fac[N],inv[N],ifac[N],pow2[N];
int d[N];

inline int C(int n,int m){
	return mul(fac[n],mul(ifac[m],ifac[n-m]));
}

int T,n,k;
signed main(){
	fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[0]=inv[1]=pow2[0]=d[0]=1;pow2[1]=2;
	for(int re i=2;i<N;++i){
		fac[i]=mul(fac[i-1],i);
		inv[i]=mul(inv[mod%i],mod-mod/i);
		ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
		pow2[i]=add(pow2[i-1],pow2[i-1]);
		d[i]=mul(4,i,i-1,add(d[i-1],mul(2,i-1,d[i-2])));
	}
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	T=getint();
	while(T--){
		n=getint(),k=getint();
		std::cout<<mul(sqr(C(n,k)),fac[k],pow2[k],d[n-k])<<"\n";
	} 
	return 0;
}