MIT 18.06 线性代数公开课笔记 Lecture07Ax=0: 主变量, 特解

本节课我们将从定义转换到算法, 如何解出 $A\mathbf{x}=0$ .

取矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]$ , 列1, 2在同一方向, 行1, 2, 3也线性相关, 这些将体现在消元中. 矩阵做行变换时不会改变方程的解, 也就不会改变零空间.对于我们消元的算法来说, 要注意什么是变化的, 什么是不变的.

消元:
$$\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 2& 2\\ 0& 0& \boxed{2}& 4\\ 0& 0& 2& 4\end{array}\right]$$
消掉第一列后, 发现第二列下面变成0了, 这说明第二列是前面的列的线性组合. 我们继续找下一个主元:
$$\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 2& 2\\ 0& 0& \boxed{2}& 4\\ 0& 0& 2& 4\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 2& 2\\ 0& 0& \boxed{2}& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=U$$
第三行是全零, 说明第三行是前两行的线性组合.

我们最终得到了一种阶梯矩阵. 可以发现, 消元之后只有2个主元, 这个数字2称为该矩阵的秩(rank).

现在方程变为 $U\mathbf{x}=0$ . 下一步我们要找出主变量(pivot variables), 主变量所在的列称为主列(pivot columns), 其余列称为自由列(free columns). 自由意味着, 这些列上的自由变量可以取任意数.

首先取 $x_2=1,x_4=0$ , 求得一组解 $\mathbf{x}=c\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ , 这并不是完整的零空间, 还可以取 $x_2=0,x_4=1$ , 求得另一组解 $\mathbf{x}=d\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$ . 于是所有的解是 $\mathbf{x}=c\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$ , 也就是两个特解的线性组合. 零空间所包含的恰好是线性无关的特解的线性组合. 特解有多少个? 每个自由变量对应一个特解.

让我们把知识串联起来: 矩阵 $A_{m\times n}$ 的秩为 $r$ , 表示主变量的个数, 于是自由变量的个数就是 $n-r$ , 也就是说起作用的变量只有 $r$ 个, 其他变量可以自由取值, 也就是可以得到 $n-r$ 个线性无关的特解.

我们还可以让矩阵看起来更干净. 用 $R$ 表示简化行阶梯形式(reduced row echelon form)的矩阵. 对于 $U=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ , 可以继续向上消元, 可以让主元上方也变为全零, 再用方程除以主元, 可以让主元变为1:
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& -2\\ 0& 0& 2& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}\boxed{1}& 2& 0& -2\\ 0& 0& \boxed{1}& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=R$$
Matlab生成 $R$ 的指令为 rref(A) . 可以发现上面的 $R$ 中还包含了一个单位矩阵, 元素来自主元的行列. 我们通过 $R$ 可以很快的计算出特解.

如果把含自由变量列的子矩阵称为 $F$ , 可以得到, 典型情况下有 $R=\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]$ . 方程变为求 $R\mathbf{x}=0$ , 我们想要一次求出所有特解, 可以创造一个零空间矩阵(列由特解组成) $N=\left[\begin{array}{c}-F\\ I\end{array}\right]$ . Matlab生成 $N$ 的指令为 null(A) .

原方程可以最终表示为 $\left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{pivot}\\ x_{free}\end{array}\right]=0$ .