MIT 18.06 线性代数公开课笔记 Lecture08 Ax=b, 可解性及解的结构

还是以上节课的 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]$ 为例, 解方程组:
$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]$$
我们把整个方程组写成增广矩阵的形式并进行消元:
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ 2& 4& 6& 8& b_2\\ 3& 6& 8& 10& b_3\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& 2& 4& b_2-2b_1\\ 0& 0& 2& 4& b_3-3b_1\end{array}\right] \\ ⟶\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ 0& 0& 2& 4& b_2-2b_1\\ 0& 0& 0& 0& b_3-b_2-b_1\end{array}\right] \end{gathered}$$
我们得到 $0=b_3-b_2-b_1$ .

方程的可解性

$\mathbf{b}$ 要满足什么条件才能使得方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 总是有解? 回想一下前几节课, 当且仅当 $\mathbf{b}$ 属于 $C(A)$ , 也就是说 $\mathbf{b}$ 必须是 $A$ 列向量的线性组合, 方程有解.

另一种等价的描述方式: 如果 $A$ 各行的线性组合得到零行, 那么 $\mathbf{b}$ 中元素的同样组合必须也是0. 这样方程才会有解.

方程求解的算法

求 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的所有解.

0. 首先验证 $0=0$ , 即方程有解.
1. 第一步只求一个特定的解 ${\mathbf{x}}_{\mathbf{p}}$ , 即特解: 将所有自由变量置零, 然后解出 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 中的主变量.
2. 加上零空间中的任意解 ${\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}$ . 由于 $A{\mathbf{x}}_{\mathbf{p}}=\mathbf{b}$ , $A{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}=0$ , 所以 $A{\mathbf{x}}_{\mathbf{p}}+{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{b}$ .

于是对于上面的 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 6\end{array}\right]$ , 全部解为:
$${\mathbf{x}}_{complete}=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ \frac{3}{2}\\ 0\end{array}\right]+c_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$$
这是一个 $R^4$ 中的二维平面, 但是不经过原点, 所以不是一个子空间.

$m\times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $r$

矩阵有 m 行和 r 个主元, 一定有 $r\le m$ .

同时矩阵有 n 列, 于是也一定有 $r\le n$ , 因为主元个数不可能超过未知数个数.

列满秩, $r=n<m$

此时所有列都含主元, 没有自由变量, 于是零空间只有零向量, 此时 $R=\left[\begin{array}{c}I\\ 0\end{array}\right]$ . $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 将只有唯一解, 也就是特解 ${\mathbf{x}}_{\mathbf{p}}$ , 或者无解. 换句话说此时只有0或1个解.

行满秩, $r=m>n$

每一行都有主元, 不会出现零行, 对任何 $\mathbf{b}$ 都一定有解. 自由变量有 $n-r$ 个, 此时 $R=\left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]$ , 有无数解.

最完美的矩阵$r=m=n$

对于满秩方阵, 将得到一个可逆矩阵. 此时的 $R=I$ , 其零空间只包含零向量. 此时对任何 $\mathbf{b}$ 都一定有唯一解.