MIT 18.06 线性代数公开课笔记 Lecture09 线性相关性、基、维数【KEY】

This is a key Lecture

• 什么是线性无关, 线性相关
• 什么是向量空间的基
• 什么是子空间的维数

假设有矩阵 $A_{m\times n}$ , 并且 $m<n$ (未知数比方程多), 根据前面课程的结论, $A\mathbf{x}=0$ 的解空间除了零向量还有一些别的向量, 也就是说除了零解还有别的解, 因为至少有 $n-m$ 个自由变量.

线性无关性 Independence

什么情况下向量 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\dots ,{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}$ 是线性无关的? 当且仅当不存在结果为 $0$ 的线性组合 $c_1{\mathbf{x}}_1+c_2{\mathbf{x}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}$ , 除非系数 $c_i$ 全为0, ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\dots ,{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}$ 是线性无关的. 可以发现, 如果 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\dots ,{\mathbf{x}}_{\mathbf{n}}$ 中包含零向量, 它们就不可能线性无关了.

在 $R^2$ 中选定两个不共线的向量, 它们线性无关. 如果选定三个向量, 那它们就一定线性相关了. 我们可以将三个向量组成一个 $2\times 3$ 矩阵 $A$ , 这三个向量线性无关相关意味着 $A\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]=0$ 只有零解, 这显然是错误的.

把这个结论推广到 $n$ 维: 对于向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ 及由它们作为列向量组成的矩阵 $A$ , 如果它们是线性无关的, 那么 $A$ 的零空间将只有零向量, 其秩为 $n$ , 不存在自由变量; 如果它们线性相关, 则意味着 $A$ 的零空间还存在非零向量 $\mathbf{c}$ , 其秩小于 $n$ , 存在自由变量.

张成空间 Span a space

${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ span a space means: 这个空间包含这些向量的所有线性组合. span可以叫做张成, 展成, 生成都行.

一个矩阵的列空间就是其列向量张成的空间. 这些列向量不一定线性无关. 我们更关心既能生成空间, 本身又是线性无关的向量组. 由此就带出了基的概念.

一个向量空间的基(basis)是此空间中的一系列向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{d}}$ , 这些向量具有两种性质: 它们是线性无关的, 并且它们可以张成这个向量空间.

举个栗子, 零空间的基就是零向量. ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基是 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ , 这被称为是标准基, 并且不止这一组基. 只要是 $n\times n$ 的可逆矩阵, 其列向量都可以作为 ${\mathbb{R}}^n$ 的基.

考虑向量 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 5\end{array}\right]$ , 其不足以作为 ${\mathbb{R}}^3$ 的基, 但是它们仍然可以张成一个空间, ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个平面.

对于给定空间, 其所有的基都满足此性质: 基向量的个数相等. 这个个数被称作空间的维数(dimension).

举个栗子, $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\end{array}\right]$ , 其列向量可以张成一个空间吗? 当然可以, 这就是 $C(A)$ 的定义. 其列向量是一组基吗? 当然不是, 他们线性相关. $A$ 的秩, $A$ 的主列的数目, 就等于 $C(A)$ 的维数. 我们没有说秩是 $A$ 的维数, 而是 $C(A)$ 的维数. 同理, 我们也不会说 $C(A)$ 的秩是多少, 矩阵才有秩. $A$ 的一组基就是第一列和第二列, 第二三列也不错.

考虑 $A$ 的零空间 $N(A)$ 的维数. 零空间实际上在告诉我们, 如何组合列向量才可以得到零向量. 零向量的维数就是自由变量的数目, 也就是 $n-r$ .