MIT 18.06 线性代数公开课笔记 Lecture03 矩阵乘法和逆

矩阵乘法

回顾一下 $C=AB$ 中单个元素的求法:
$$c_{i,j}=(\text{row i of }A)\cdot (\text{column j of }B)$$
矩阵相乘不一定是方阵, $A_{m\times n}{B}_{n\times p}=C_{m\times p}$ .

让我们用行和列的方式去思考 $AB=C$ :

把矩阵 $C$ 想成是 $p$ 个列向量, $A$ 乘 $B$ 的第一列得到 $C$ 的第一列, 以此类推. 回想一下我们的big picture, 矩阵 $A$ 乘一个列向量代表了 $A$ 中列向量的线性组合, 也就是说矩阵 $C$ 中的每一列都是 $A$ 中列向量的线性组合. 这就是矩阵乘法的第二种方法.

而矩阵乘法的第三种方法也就是, 矩阵 $C$ 中的每一行都是 $B$ 中行向量的线性组合.

矩阵乘法的第四种方法: $AB=\text{Sum of }(\text{column of }A)\times (\text{row of }B)$

$A$ 中的列乘 $B$ 中的行将会得到一个 $m\times p$ 矩阵. 这个矩阵中的每一行都是 $B$ 中的行的倍数, 每一列都是 $A$ 中的列的倍数:
[234][16]=[212318424] \begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&12\\3&18\\4&24\end{bmatrix} ⎣⎡​234​