MIT 18.06 线性代数公开课笔记 Lecture05 转置、置换、向量空间

置换

如果主元的位置出现0, 需要进行行互换. 需要行互换时, LU分解怎么办?

解决方法: $PA=LU$ . $P$ 是行置换所需的矩阵. 不难发现 $P^T=P^{-1}$ .

事实上, 满足 $A{A}^T=I$ 的矩阵 $A$ 称为正交矩阵, 此乃后话.

对任何可逆矩阵 $A$ , 有 $PA=LU$ .

转置

$A$ 的转置记为 $A^T\text{or}{A}^{\prime }$ . 如何转置一个矩阵显而易见. $(A^T{)}^T=A$ .

满足 $A=A^T$ 的矩阵 $A$ 称为对称矩阵.

对于任意矩阵 $A$ , $A{A}^T$ 可以产生一个对称矩阵.

向量空间和子空间

向量有哪些运算? 向量可以相加, 可以数乘.

向量空间中的空间意味着有很多向量, 一整个空间的向量. 空间必须满足一些规则, 加法和数乘.

我们可以把二维向量画在一个直角坐标系上, 其中(0,0)表示原点, 可以说是最重要的向量. 为什么一定需要原点? 数乘乘以0的时候会得到 $0$ .

向量空间的性质: 向量空间中的向量的线性组合仍在此向量空间中, 也就是对加法和数乘封闭(close). 加法与数乘有8条定理.

比如 $R^2$ 中, 第一象限对数乘不封闭,不是向量空间, 第一三象限也不是向量空间, 因为对加法不封闭.

$R^n$ 是最重要的向量空间之一. 一个向量空间的子集, 但仍然对加法和数乘封闭, 称为子空间.

$R^2$ 的子空间有哪些? $R^2$ 本身(最大的子空间), 原点(最小的子空间), 任意一条过原点的直线. 对于更高维的情况, 子空间以此类推.

如何从矩阵中构造向量空间?

矩阵 $A$ 列向量全部线性组合构成的空间称为列空间 $C(A)$ , 行空间同理.

一个10×5矩阵的列空间是什么样的? 如果5个列向量线性无关, 那结果会是某种10维空间中的5维超平面.