MIT 18.06 线性代数公开课笔记 Lecture06 列向量和零空间

所有子空间包含零向量. 任意两个子空间的并集不一定是子空间, 但其交是子空间.

列空间

对于矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]$ , 每个列向量有四个元素, 故其列空间是 $R^4$ 的一个子空间, 记做 $C(A)$ . 其列空间显然不是整个 $R^4$ , 但是究竟有多小呢? 我们把它同线性方程组联系起来: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 对任意右侧向量 $\mathbf{b}$ 都有解吗? 什么样的 $\mathbf{b}$ 是有解的?

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 并不对任意 $\mathbf{b}$ 都有解. 它有四个方程式, 却只有三个未知数. 由于它只有三个列向量, 列空间并不能充满整个 $R^4$ 空间. 所以对于不在 $C(A)$ 内的向量 $\mathbf{b}$ , 线性方程组无解. 而当且仅当向量 $\mathbf{b}$ 在 $C(A)$ 内时, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解.

可以发现 $A$ 中的列向量存在一定的关系, 第一列加第二列等于第三列, 这意味着它们是线性相关的, 也就是说有一个列向量在另外两个列向量张成的超平面上, 其向量空间没有任何贡献, $C(A)$ 只是 $R^4$ 中的一个二维子空间.

零空间 Null space

$A\mathbf{x}=0$ 所有的解 $\mathbf{x}$ 构成的空间称为 $A$ 的零空间. 对于 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]$ , 零空间是 $R^3$ 的一个子空间, 不同于列空间. 零空间必然包含 $0$ .对于上面的 $A\mathbf{x}=0$ , 解是 $c\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$ , $c$ 可以取任意实数.

为什么零空间是向量空间? 对于齐次线性方程组, 也就是形如 $A\mathbf{x}=0$ 的方程组, 如果 $\mathbf{x}$ 是解, ${\mathbf{x}}^{\ast }$ 也是解, 那么 $\mathbf{x}+{\mathbf{x}}^{\ast }$ 也是解. 并且 $c\mathbf{x}$ 也是解, 于是零空间都是向量空间.

考虑方程组 $A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 1& 4\\ 4& 1& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right]$ , 由于其解不包含原点, 故其解不构成向量空间.