MIT 18.06 线性代数公开课笔记 Lecture10 四个基本子空间

本节要讲述联系列空间和行空间的重要结论.

• 列空间 $C(A)$ in ${\mathbb{R}}^m$

• 零空间 $N(A)$ in ${\mathbb{R}}^n$

• 行空间, $A$ 的所有行的线性组合, 也就是 $A^T$ 的列空间 $C(A^T)$ in ${\mathbb{R}}^n$

• $A^T$ 的零空间 $N(A^T)$ in ${\mathbb{R}}^m$ , 通常称作 $A$ 的左零空间(left null space)

当 $A$ 是 $n\times m$ 时, 这四个空间在哪里呢? 画个草图:

这四个子空间的基是什么? 维数是多少?

$C(A)$

列空间的维数就是 $r$ , 我们上节课讨论过, 并且列空间的一组基就是 $A$ 的主列.

$C(A^T)$

行空间的维数也是 $r$ , 行空间与列空间维数相同. 要找它的基, 我们举个栗子:
$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\end{array}\right]\to [\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& \end{array}$$