UVa 11191 Square

原创已于 2025-11-28 15:35:42 修改 · 686 阅读

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#算法 #c++ #青少年编程

于 2025-11-28 15:34:30 首次发布

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题目描述

$Byteland\texttt{Byteland}$ 的居民不喜欢大质数，因此他们从不使用含有大于 $30$ 的质因数的整数。他们喜欢完全平方数。如果一个整数的平方根是整数，则该整数是完全平方数。 $0, 1, 4, 9$ 是完全平方数，但 $- 4$ 或 $3$ 不是。

现在 $Byteland\texttt{Byteland}$ 的居民有一个包含 $n$ 个数字的序列。他们从中选择 $C_2$ 对数字。如果一对数字的乘积是完全平方数，则该对是平方对。他们想要计算这些 $C_2$ 对中有多少对是平方对（记为 $X$ ）。

同样，他们从序列中选择 $C_3$ 个三元组。如果一个三元组的乘积是完全平方数，则该三元组是平方三元组。他们想要计算这些 $C_3$ 个三元组中有多少个是平方三元组（记为 $Y$ ）。请帮助他们计算 $X$ 和 $Y$ 。

输入格式

第一行包含 $T$ ，表示测试用例的数量。接下来是 $T$ 个测试用例。

每个测试用例以一行整数 $n$ 开始，表示序列的长度。下一行包含 $n$ 个用空格分隔的整数。

输出格式

对于每个测试用例，输出两个整数 $X$ 和 $Y$ ，用空格分隔。

约束条件

$\leq 200000$
序列中每个数字的绝对值 $10^{18}$
除了数字 $0$ 作为例外，序列中没有数字的质因数大于 $30$

题目分析

关键观察

完全平方数的性质：一个数是完全平方数当且仅当它的所有质因数的指数都是偶数。
乘积的完全平方性：两个数的乘积是完全平方数当且仅当每个质因数的总指数是偶数。对于三个数也是类似的道理。
符号处理：由于完全平方数必须是非负数，因此乘积的符号也必须是非负的（即负数的个数必须是偶数）。
数字 $0$ 的特殊性： $0$ 与任何数的乘积都是 $0$ ，而 $0$ 是完全平方数。

解题思路

核心思想：数字签名

我们可以为每个非零数字定义一个签名（ $signature\texttt{signature}$ ），该签名编码了两个信息：

质因数指数的奇偶性
数字的符号

具体来说：

签名的第 $1$ 到 $10$ 位表示 $10$ 个小质数 $(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29)$ 的指数奇偶性
签名的第 $0$ 位（最低位）表示数字的符号（ $0$ 表示正， $1$ 表示负）

签名计算方法

对于每个非零数字 $x$ ：

取绝对值 $∣ x ∣$
对于每个质数 $p$ ，统计 $∣ x ∣$ 中包含 $p$ 的指数，如果指数是奇数，则在签名的对应位置设置 $1$
将签名左移 $1$ 位，为符号位留出空间
如果 $x < 0$ ，则在最低位设置 $1$

平方对的判断

两个数字的乘积是完全平方数当且仅当：

它们的签名相同（质因数部分相同且符号满足乘积为正）

平方三元组的判断

三个数字的乘积是完全平方数当且仅当：

它们的签名异或结果为 $0$ （这自动保证了质因数部分异或为 $0$ 且符号位异或为 $0$ ，即负数的个数为偶数）

算法步骤

统计频率：
- 统计数字 $0$ 的个数
- 对于每个非零数字，计算其签名并统计各签名的出现频率
计算平方对 $X$ ：
- 相同签名的数字可以两两配对： $count×(count−1)2\frac{count \times (count-1)}{2}$
- 包含 $0$ 的配对： $0$ 与任何数字配对都是平方对
计算平方三元组 $Y$ ：
- 包含 $0$ 的三元组：直接计算组合数
- 三个非零数字的三元组：寻找三个签名异或为 $0$ 的组合

复杂度分析

时间复杂度： $\times (n + k^3))$ ，其中 $k$ 是不同签名的数量。由于签名空间有限， $k$ 不会太大。
空间复杂度： $O (n)$ ，用于存储频率统计。

代码实现

// Square
// UVa ID: 11191
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-28
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int primes[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};

int getSignature(long long n) {
    int signature = 0;
    long long nn = abs(n);
    for (int i = 0; i < 10; i++) {
        int cnt = 0;
        while (nn % primes[i] == 0) { cnt++; nn /= primes[i]; }
        if (cnt % 2) signature |= (1 << i);
    }
    signature <<= 1;
    if (n < 0) signature |= 1;
    return signature;
}

int main() {
    cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int n;
        cin >> n;
        vector<long long> ns(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) cin >> ns[i];
        map<int, long long> signatureCount;
        int zeroCount = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (ns[i] == 0) zeroCount++;
            else {
                int sig = getSignature(ns[i]);
                signatureCount[sig]++;
            }
        }
        long long squarePairs = 0;
        for (auto& entry : signatureCount) squarePairs += entry.second * (entry.second - 1) / 2;
        squarePairs += 1LL * zeroCount * (zeroCount - 1) / 2;
        squarePairs += 1LL * zeroCount * (n - zeroCount);
        long long squareTriples = 0;
        long long nonZeroCount = n - zeroCount;
        squareTriples += 1LL * zeroCount * (zeroCount - 1) * (zeroCount - 2) / 6;
        squareTriples += 1LL * zeroCount * (zeroCount - 1) * nonZeroCount / 2;
        squareTriples += 1LL * zeroCount * nonZeroCount * (nonZeroCount - 1) / 2;
        for (auto& entry1 : signatureCount) {
            int sig1 = entry1.first;
            long long count1 = entry1.second;
            for (auto& entry2 : signatureCount) {
                if (entry2.first < sig1) continue;
                int sig2 = entry2.first;
                long long count2 = entry2.second;
                int sig3 = sig1 ^ sig2;
                if (sig3 < sig2) continue;
                if (!signatureCount.count(sig3)) continue;
                long long count3 = signatureCount[sig3];
                if (sig1 == sig2 && sig2 == sig3) squareTriples += count1 * (count1 - 1) * (count1 - 2) / 6;
                else if (sig2 == sig3) squareTriples += count1 * count2 * (count2 - 1) / 2;
                else squareTriples += count1 * count2 * count3;
            }
        }
        cout << squarePairs << " " << squareTriples << "\n";
    }
    return 0;
}