12、利用平板和平面探针测量粒子数量与大小及相关几何采样方法

利用平板和平面探针测量粒子数量与大小及相关几何采样方法

1. 有界和光学 dissector

有界 dissector 最早由 Sterio（1984 年）描述，早期版本使用两个已知间距的平行物理切片，分别作为参考切片和查找切片。光学 dissector 由 Gundersen（1986 年）提出。“D. C. Sterio”是“disector”的变位词，是 H. J. G. Gundersen 的笔名。

2. 利用平板和平面探针测量粒子数量与大小

2.1 预备知识

目标是一个粒子集合 𝑌 = {𝑌₁, 𝑌₂, …, 𝑌ₙ} ⊂ 𝐷 ⊂ ℝ³，这些粒子包含在直径为 𝐻 的参考球 𝐷 中。设 𝐻ᵢ(𝑢) 和 𝑉ᵢ 分别表示粒子 𝑌ᵢ 沿方向 𝑢 ∈ 𝑆²⁺ 的卡尺长度和体积。沿 𝑢 方向的平均粒子卡尺长度和平均粒子体积分别为：
[
E{𝐻(𝑢)} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} 𝐻_i(𝑢)
]
[
E(𝑉) = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} 𝑉_i
]

2.2 平均粒子卡尺长度

设 𝐿ₜ ≡ 𝐿ₜ(𝑝, 𝑢) 表示厚度为 𝑡 且与参考球 𝐷 相交的 FUR 平板。我们希望用计数来表示 𝐸{𝐻(𝑢)}。
定义：
[
Q(𝑝, 𝑢) = \sum_{i = 1}^{N} 1_i(𝑝, 𝑢)
]
其中，
[
1_i(𝑝, 𝑢) =
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