17、局部体视学与平稳点过程：理论、方法与应用

局部体视学与平稳点过程：理论、方法与应用

1 局部体视学中的二阶测量

1.1 二阶测量相关函数的发展

在二阶测量的研究中，协方差函数和 𝐾 - 函数的定义与实现有着重要的发展历程。协方差函数的定义和实现由 Matérn（1960）和 Matheron（1967）开创，Serra（1982）也有相关研究。而 𝐾 - 函数最初主要为点过程开发，如 Ripley（1977），Diggle（2003）也有相关论述。它在体视学中的早期应用可见于 Braendgaard 和 Gundersen（1986）、Baddeley 等人的研究。后来，它被应用于曲线、表面和体积过程。

1.2 从不同角度计算 𝐾 - 函数

1.2.1 从成核器计算 𝐾 - 函数

设 𝑌⊂R³ 为一个运动不变的体积过程。从球 𝐷₀(𝑟) 的中心 0∈𝑌 发出的任意方向射线，会在有界随机集 𝑌∩𝐷₀(𝑟) 中确定 𝑚≥1 个独立的截距。使用与式 (2.18.6) 相同的符号，有：
[
VVK(r) = E{V(Y\cap D_0(r))} = \frac{4\pi}{3} \cdot E\sum_{i = 1}^{m} (l_{i + }^{3} - l_{i - }^{3})
]
这是基于模型情况的直接成核器公式。若在球 𝐷₀(𝑟) 的大圆盘中绘制任意半径，即在 𝑑₀(𝑟) = 𝐷₀(𝑟) ∩ 𝐿₃²[0] 中（其中 𝐿₃²[0] 是通过 0∈𝑌 的任意平面），对截距长度进行适当解释，同样的形式表达式也成立，此时是在基于模型的情况下实现关键成核器。

1.2.2 从不变