10、三维几何采样中的测试平面、测试线及相关概念

三维几何采样中的测试平面、测试线及相关概念

1. FUR和IUR测试平面与测试线的定义

在三维空间中，轴 $𝐿_3^1[0] \equiv 𝐿_3^1(0, 𝑢)$ 的方向由单位半球面上的点 $𝑢\equiv𝑢(𝜙, 𝜃)$ 确定。$𝑢$ 的概率元素采用旋转不变密度 $d𝑢$ 的归一化形式，即：
[P(d𝑢) = \frac{d𝑢}{2𝜋}, 𝑢\in S_2^+]
此时，$𝑢$ 被称为各向同性随机变量，记为 $𝑢\sim UR(S_2^+)$。由于 $d𝑢 = \sin 𝜃d𝜙d𝜃$，$𝑢$ 的球极坐标的联合概率元素为：
[P(d𝜙, d𝜃) = \frac{d𝜙}{2𝜋} \cdot \sin 𝜃d𝜃, 𝜙\in[0, 2𝜋), 𝜃\in[0, 𝜋/2)]
这表明 $\phi$ 和 $\theta$ 相互独立，且 $\phi\sim UR[0, 2𝜋)$，而：
[P(d𝜃) = \sin 𝜃d𝜃, 𝜃\in[0, 𝜋/2)]
余纬度角 $\theta$ 并非均匀随机（UR），这是由于球极坐标的选择所致。对于随机变量 $X$ 的均匀随机性，要求长度为 $d𝑥$ 的任何区间的概率与 $d𝑥$ 成正比，而余纬度区间长度为 $d\theta$ 的概率与由两个平行平面所确定的球带面积成正比，该面积取决于 $\theta$，因此 $\theta$ 不是 UR。不过，$\cos\theta$ 是 $UR[0, 1)$。可以通过 $\phi = 2\pi U_1$，$\theta = \cos^{-1}(U_2)$ 生成 $u(\phi, \theta)$ 的各向同性实现，其中 $U_i\sim