6、积分几何中有界探针的相关理论与应用

积分几何中有界探针的相关理论与应用

1. 有界探针的运动密度

有界探针在不同维度空间中的运动密度是积分几何中的重要概念，以下将分别介绍其在一维轴、二维平面和三维空间中的情况。
- 一维轴上的有界探针 ：在固定轴 (Ox_1) 上，有界探针可以是测试点 (T_1^0) 或者长度为 (t>0) 的线段 (T_1^1(x)=[x,x + t))。这里 (T_1^1(x)) 的下标表示探针的维度，上标表示所在空间的维度，(x\in R) 是探针线段的左端点。为方便起见，可将点 (x) 作为探针的关联点（AP），其不变密度为 (dT_1^1 = dx)，(x\in R)。
- 二维平面中的有界探针 ：平面中的有界探针包括测试点 (T_2^0)、长度为 (l>0) 的有界曲线 (T_2^1)（如测试线段）以及面积为 (a>0) 的有界集 (T_2^2)（通常称为方形区域，如正方形）。固定平面中的矩形框架 (Ox_1x_2)，除点之外的平面探针的位置和方向由附着在探针上的单位向量 ((x,\omega)) 确定，其中 (x\in R^2) 是关联点（AP），(\omega\in[0,2\pi)) 是与 (Ox_1) 轴的夹角，该向量为关联向量（AV）。探针 (T_2^r(x,\omega)) 的运动不变密度称为平面中的运动学密度，即 (dT_2^r = dxd\omega)，其中 (dx = dx_1dx_2) 是平面中的面积元素，(d\omega) 是单位圆 (S^1) 的弧元素。
- 三维空间中的有界探针 ：在三维空间 (R^3) 中，有界的分段光滑探针 (T_3^r)