16、模型与二阶体视学：理论与应用

模型与二阶体视学：理论与应用

1 随机几何对象过程的基本概念

1.1 引言

在之前的研究中，采用的是基于设计的方法，涉及一个有界的、非随机的目标集，被一个配备了运动不变密度的测试探针所击中。而现在，我们转向基于模型的方法：目标是一个随机过程 $Y⊂R^d$，它由维度为 $q∈{0, 1, …, d}$ 的几何对象组成。例如，$Y⊂R^3$ 可以表示点、曲线、表面或体积过程。以下是基于模型的体视学的主要方面：
1. 探针无需运动不变概率元素 ：由于随机性归因于由随机过程建模的目标对象，所以探针不需要配备运动不变概率元素。这通常在材料科学中通过“观察”来证明，材料的各个部分看起来“几乎相同”，这对应于平稳性或均匀性的概念。
2. 平稳性意味着模型无界 ：平稳性表明模型是无界的，没有明显的不均匀性，也没有生物样本中典型的自然边界。设计通常更简单，因为它通常包括使用任意定位的有界探针进行采样。
3. 无界性导致目标通常为比率 ：无界性意味着目标通常是一个比率，如 $V_V$ 或 $S_V$，它们被解释为相应过程的体积或表面积“强度”。
4. 平稳性下经典比率恒等式成立 ：如果平稳性成立，那么 Joseph Mecke 定理保证设计体视学的经典比率恒等式在形式上保持不变。
5. 模型体视学基于随机几何 ：模型体视学建立在随机几何的基础上。设计体视学主要关注对象的一阶属性，如 $L$、$S$、$V$ 等，而随机几何还提供了用于二阶属性的工具，这些属性通常用于表征结构模式的