信友队 T4 括号

还不会

暴力做法30分：找性质，下标为 i 的左括号能和下标为 j 的右括号匹配当且仅当 i<j，所以一个左括号越左边越能和更多右括号匹配，对于右括号同理。所以两个人都只会取未被染色的最左侧左括号/最右侧的右括号，决策数量减少。

取 ⁡min：后面的右括号对匹配都没有贡献了，当然可以视为不存在。

减 2：因为这个左括号可以匹配当前所有的右括号，我们当然希望尽可能晚地去取这个括号，也就是当对手取到第倒数第二个括号的时候，在此之前我们都可以放心争取更多的匹配，无须担心这个括号。另一方面地，你的对手也可以通过在你主动取倒数第二个括号的时候取走最后一个括号，来让你不能获得更多优势。

而对于右括号，由于括号序列优美的对称性，我们同样可以推出这个结论。

所以可以写出 DP 方程，设 fx,y,z,w​ 为已经取走了 x 个左括号，y 个右括号，左侧一共能取 z 个括号，右侧一共能取 w 个括号时，最多可以保证匹配的括号对数即可。

正解

已经得到了一个判定问题，只需要判断 ⌈2k​⌉ 能否取到。

我们发现算法五中我们没有很好地利用先手优势，我们来考虑一个简单的先手优势使用法：先取一个某种括号，然后仍然使用最开始的两两匹配策略。这等价于，我们只要再取出形如 ))(())(()) 或 (())(())(( 的子序列就可以成功。然后，如果你有足够好的观察力，或者知道打表猜结论的方法，可以发现这同样是一个必要条件：只要都不能成功，答案就取不到 ⌈2k​⌉。

判定方法

求出括号串的最大匹配，记这些括号的位置为 (a1​,b1​),(a2​,b2​),⋯,(ak​,bk​)，其中 ai,biai​,bi​ 均递增。
如果答案满足以下两个条件的至少一个，答案是 ⌈k2⌉，否则答案是 ⌈2k​⌉−1。
条件一：(a1,b2),(a3,b4),⋯ ,(a ⌈k2⌉−1,b ⌈k2⌉) 是一个合法的匹配。
条件二：(a2,b1),(a4,b3),⋯ ,(a ⌈k2⌉,b ⌈k2⌉−1) 是一个合法的匹配。