2024信友队智灵班春季 Test1 总结

4月模考

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死亡回放 模考时间线

• 1:30 比赛开始，读 T1 宇宙爆炸 的题
• 1:50 自己手模了几组样例，得出了一个错误结论，打出了第一版错误代码，然后上交（$\text{Wrong Answer 20}$）
• 中间拿了 T2 逃狱风云 的部分分（$\text{Wrong Answer 10}$，最终分数），之后在想 T3 奇怪物语，然后推出需要用到二进制，但是想不出来，交了一个暴搜（？（$\text{Time Limit Exceeded 20}$）
• 3:00 返回去检查 T1 宇宙爆炸 正确性，发现果然有问题！迅速修改了一下，把栈改成队列，再交了一发（$\text{Wrong Answer 60}$​）
• 然后发现还是有问题！于是又改了改交了一发（$\text{Accepted 100}$）
• 可是我不自信啊！就把部分分改成了暴力，然后暴力挂了！（$\text{Wrong Answer 65}$，最终分数）
• 后面的时间要么在发呆，要么在狂想 T3 奇怪物语，中间好不容易意识到写个递推拿的分更多，但是 $5\times 10^7$ 的空间复杂度我开成了 long long（$\text{Time Limit Exceeded 0}$，最终分数）
• T4 东部世界 就没有去推了qwq

死因分析 错误点分析

• 应该多去拿每个题的部分分的，简单的式子都去推一下！
• 暴力也得去验证是否正确！
• 应该要意识到空间复杂度的影响！
• 题目中给的提示得最大化使用！

死亡证明 成绩

遗书 各题错误思路 & 正解

T1 宇宙爆炸

给定一个由等量的 $0$ 和 $1$ 组成的环 $s$，各有 $n$ 个。对于每一个 $1$，如果其逆时针方向上第一个元素为 $0$，则它们会被一起删除，环会重新接上，这个过程一直重复直到不存在可以删除的元素。现在要求出一些位置，使得在这些位置插入一个 $1$ 后，这个 $1$​ 不会被删除。

对于所有数据，保证：$1\le n\le 10^6$， s i ∈ { 0 , 1 } s_i\in\{0,1\} si​∈{ 0,1}。

错误思路

就不该加暴力！也不知道暴力哪错了……

正解

场上想的：遍历两遍环，开一个队列存当前这个环（不同起点），在队列里执行湮灭操作；在第二遍遍历的时候，如果发现将 $x$ 加入队列后发生湮灭，且湮灭完了队列为空，则说明 $x$ 后面一个元素是安全的。这很好想：如果某一时刻还剩下的元素没有被湮灭完，那么此时加入肯定会代替后面的某个元素进行湮灭操作。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 5;
char s[maxn << 2]; int n;
int q[maxn << 3],ans[maxn << 1],tot; int l,r;
int main() {
   
   
    freopen("bigbang.in","r",stdin);
    freopen("bigbang.out","w",stdout);
    scanf("%d%s",&n,s + 1);
    n <<= 1; 
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        s[i + n] = s[i];
    l = 1,r = 0;
    for (int i = 1;i <= (n << 1);i ++) {
   
   
        while (l <= r && q[l] <= i - n) l ++;
        if (l > r) {
   
    q[++ r] = i; continue; }
        if (s[q[r]] == '1' && s[i] == '0') {
   
   
            r --;
            if (l > r && i > n) ans[++ tot] = i - n;
        } else q[++ r] = i;
    }
    sort(ans + 1,ans + tot + 1);
    int x = unique(ans + 1,ans + tot + 1) - ans - 1;
    for (int i = 1;i <= x;i ++) printf("%d%c",ans[i]," \n"[i == x]);
    return 0;
}

T2 逃狱风云

各有 $n$ 个犯人、盒子和纸条，编号均为 $1\to n$。每张纸条随机放入不同的每个盒子里。每个犯人都需要按照一定策略在 $n$ 个盒子中挑选 $k$ 个打开，如果没有看见自己编号的纸条则所有人都将被处决。否则全员释放。求在最优策略下全员释放的概率。犯人与犯人之间无影响。

提示：最优策略为：$i$ 号犯人先打开 $i$ 号盒子，然后根据看到的纸条编号打开对应编号的盒子，直到 $k$ 次用完或看到自己的纸条。

错误思路

压根不觉得这个提示是最优策略，以为只是针对于该样例而言可能的一个策略。然后就没有了，拿了 $10$ pts部分分。

正解

按照提示给定的策略，按照盒子与纸条的关系建一张图 $G$，如果 $i$ 号盒子中放着 $j$ 号纸条，则 $i$ 像 $j$ 连一条有向边。$G$ 中一共 $n$ 个点、$n$ 条边，且每个点各有一条入边、出边。$G$ 一定由若干个互不相交的环组成。如果所有环的大小均不大于 $k$，那么所有犯人都能通过 $k$ 步走到自己编号的点上。则题目转化为求 $n!$ 种图中所有环的大小都不大于 $k$ 的概率。

令 $f_i$ 表示 $i$ 个点的图中，所有环大小均不大于 $k$ 的张数，$g_i$ 表示概率。显然 $g_i=\frac{f_i}{i!}$，且对于 $i\le k$，$f_i=i!,g_i=1$。转移 $f_i$ 时枚举包含第 $i$ 个点的环的大小 $j$（$j\le k$），则这个环不包含 $j$ 会有 $A_{i-1}^{j-1}$ 种形态，剩下 $i-j$ 个点合法的方案数为 $f_{i-j}$，故转移方程为：
$$f_i=\sum _{j=1}^k{A}_{i-1}^{}$$