信友队 T3 潜力值

暴力做法35分：组合数，记录当前子集的信息过于复杂，可以考虑记录在队列中的值，在当前选出的子集中的相对排名。转移时只需要枚举新值和原集合的相对大小即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar(); 
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
const int N=510;
int a[N];
deque<int> q;
const int MOD=1e9+7;
int main(){
	freopen("potential.in","r",stdin);
	freopen("potential.out","w",stdout);
	int n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
	}
	int ans=0;
	do{
		for(int i=1;i<=m;i++){
			q.push_back(0);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(q.front()<a[i]){
				q.pop_front();
				q.push_back(a[i]);
			}
		}
		while(q.size()){
			ans+=q.front();
			ans%=MOD;
			q.pop_front();
		}
	}while(next_permutation(a+1,a+1+n));
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

正解

考虑 m 个成绩的唯一意义是将序列划分成 m 个单元素取 ⁡max 的过程，每次找到前缀最大值时弹出队首，然后循环处理下一个位置的贡献。

只需要先枚举若干个有恰好 w 个前缀最大值的排列个数，这是非常简单的，DP 做到 O(nw)就可以。然后枚举弹出队首的次数，对于每个单元素取 ⁡max 的排列计算贡献，枚举第 xx 个排列的最大值的全局排名即可。所以相当于每个序列的权值是 Fw(x)=∑fix^i，最后一个序列的权值是 Gw(x)=∑gix^i，我们只需要求 G⌊(k+m)/m⌋​(x)⋅∏F⌊(k+i)/m⌋​(x)modx^n 的值就可以枚举排列。然后再进行枚举序列算贡献，需要求去掉其中一个多项式后的乘积；但是不难发现乘积中只有三种本质不同的多项式，所以可以暴力进行多项式除法。