典型传递函数Z变换与离散化过程的分析

Z变换与离散化过程的分析

在信号处理和控制系统中，Z变换是一种重要的工具，它可以帮助我们将连续时间的信号转化为离散时间信号，从而适用于数字控制系统的分析与设计。接下来，我们通过一个具体例子，分析如何进行Z变换以及如何处理相关的部分分式分解。

1. 基本Z变换公式回顾

首先，我们回顾一些基本的Z变换公式：

• 已知$L^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]=1(t)$（单位阶跃函数），其Z变换为：
  $$Z[1(t)]=\frac{1}{1-z^{-1}},|z|>1$$

• 对于$L^{-1}\left[\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}\right]=\sin (\omega t)$，其Z变换为：
  $$Z[\sin (\omega t)]=\frac{z\sin (\omega T)}{z^2-2z\cos (\omega T)+1},|z|>1$$
  其中$T$为采样周期。

• 对于$L^{-1}\left[\frac{s}{s^2+{\omega }^2}\right]=\cos (\omega t)$，其Z变换为：
  $$Z[\cos (\omega t)]=\frac{z(z-\cos (\omega T))}{z^2-2z\cos (\omega T)+1},|z|>1$$

• 对于$L^{-1}\left[\frac{{\omega }^2}{s^2+{\omega }^2}\right]=\omega \sin (\omega t)$，其Z变换为：
  $$Z[\omega \sin (\omega t)]=\frac{\omega z\sin (\omega T)}{z^2-2z\cos (\omega T)+1},|z|>1$$

2. 部分分式分解法处理

我们接下来采用部分分式分解法来对$F(s)=\frac{1}{s}\cdot \frac{{\omega }_r^2}{s^2+{\omega }_r^2}$进行处理：

1. 设：
   $$\frac{1}{s}\cdot \frac{{\omega }_r^2}{s^2+{\omega }_r^2}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2+{\omega }_r^2}$$

2. 通分得到：
   $${\omega }_r^2=A(s^2+{\omega }_r^2)+(Bs+C)s$$

3. 令$s=0$，则：
   $${\omega }_r^2=A{\omega }_r^2\Rightarrow A=1$$

4. 展开：
   $${\omega }_r^2=A{s}^2+A{\omega }_r^2+B{s}^2+Cs$$
   即：
   $${\omega }_r^2=(A+B)s^2+Cs+A{\omega }_r^2$$

5. 因为$A=1$，对比$s^2$的系数得到：
   $$0=A+B\Rightarrow B=-1$$

6. 对比$s$的系数得到：
   $$C=0$$

因此，最终结果为：
$$\frac{1}{s}\cdot \frac{{\omega }_r^2}{s^2+{\omega }_r^2}=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+{\omega }_r^2}$$

3. Z变换的计算

接下来，我们分别求出每一项的Z变换。

1. 对于$f_1(t)=L^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]=1(t)$，其Z变换为：
   $$F_1(z)=Z[1(t)]=\frac{1}{1-z^{-1}}=\frac{z}{z-1},|z|>1$$

2. 对于$f_2(t)=L^{-1}\left[\frac{s}{s^2+{\omega }_r^2}\right]=\cos ({\omega }_{r}t)$，其Z变换为：
   $$F_2(z)=Z[\cos ({\omega }_{r}t)]=\frac{z(z-\cos ({\omega }_{r}T))}{z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1},|z|>1$$

3. 那么$F(z)=Z\left[\frac{1}{s}\cdot \frac{{\omega }_r^2}{s^2+{\omega }_r^2}\right]=Z\left[\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+{\omega }_r^2}\right]$。

根据Z变换的线性性质：
$$Z[a{f}_1(t)+b{f}_2(t)]=aZ[f_1(t)]+bZ[f_2(t)]$$
这里$a=1$，$b=-1$。

所以：
$$F(z)=\frac{z}{z-1}-\frac{z(z-\cos ({\omega }_{r}T))}{z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1}$$

4. 通分并化简：

   先将$\frac{z}{z-1}$的分子分母同乘$z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1$，得到：
   $$\frac{z(z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1)}{(z-1)(z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1)}$$

   然后将$\frac{z(z-\cos ({\omega }_{r}T))}{z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1}$的分子分母同乘$z-1$，得到：
   $$\frac{z(z-\cos ({\omega }_{r}T))(z-1)}{(z-1)(z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1)}$$

   由此，得到：
   $$F(z)=\frac{z(z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1)-z(z-\cos ({\omega }_{r}T))(z-1)}{(z-1)(z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1)}$$

5. 展开分子并化简得到：
   $$F(z)=\frac{(1-\cos ({\omega }_{r}T))z(z+1)}{(z-1)(z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1)}$$

4. 结论

综上，$\frac{1}{s}\cdot \frac{{\omega }_r^2}{s^2+{\omega }_r^2}$的Z变换为：
$$F(z)=\frac{(1-\cos ({\omega }_{r}T))z(z+1)}{(z-1)(z^2-2z\cos ({\omega }_{r}T)+1)},|z|>1$$
其中$T$为采样周期。