PLL锁相环带宽定义，以及PI参数自动整定

原创已于 2025-05-07 00:10:20 修改 · 8.5k 阅读

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于 2024-10-22 22:13:26 首次发布

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PLL 带宽调整和 PI 参数设计

要将锁相环（PLL）的带宽调整到 200 Hz，我们需要重新设计 PI 控制器的参数 $KPLLpK_{\text{PLLp}}$ 和 $KPLLiK_{\text{PLLi}}$ 。下面是详细的步骤：

1. 确定锁相环的自然频率和阻尼比

对于二阶系统，闭环传递函数可以表示为：

$\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

其中：

$ωn\omega_n$ 是自然频率
$ζ\zeta$ 是阻尼比

2. 将原始传递函数与标准形式对比

从你的代码中，PLL 的开环和闭环传递函数为：

开环传递函数：

$G_{\mathrm{PLLK}}(s) = \frac{K_{\mathrm{PLLp}} s + K_{\mathrm{PLLi}}}{s^2}$

闭环传递函数：

$G_{\mathrm{PLLB}}(s) = \frac{G_{\mathrm{PLLK}}(s)}{1 + G_{\mathrm{PLLK}}(s)} = \frac{K_{\mathrm{PLLp}} s + K_{\mathrm{PLLi}}}{s^2 + K_{\mathrm{PLLp}} s + K_{\mathrm{PLLi}}}$

将其与标准二阶系统的传递函数对比，我们得到：

$\frac{K_{\mathrm{PLLp}} s + K_{\mathrm{PLLi}}}{s^2 + K_{\mathrm{PLLp}} s + K_{\mathrm{PLLi}}} = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

3. 匹配系数，得到参数关系

比较分母，得到：

$KPLLi=ωn2K_{\mathrm{PLLi}} = \omega_n^2$
$KPLLp=2ζωnK_{\mathrm{PLLp}} = 2 \zeta \omega_n$

然而，分子部分并不完全匹配。为了简化设计，我们可以忽略 $KPLLpsK_{\mathrm{PLLp}} s$ 项对分子的影响（通常 $KPLLpsK_{\mathrm{PLLp}} s$ 在高频时起作用，但在闭环特性中，分子主要由 $KPLLiK_{\mathrm{PLLi}}$ 决定）。

4. 计算自然频率和阻尼比

为了使带宽为 200 Hz，首先计算自然频率 $ωn\omega_n$ 。

对于二阶系统，当阻尼比 $ζ=0.707\zeta = 0.707$ 时，带宽 $B W$ 与自然频率的关系近似为：

$\approx \omega_n$

因此：

$\omega_n = 2\pi \times BW = 2\pi \times 200\ \text{rad/s} = 1256.64\ \text{rad/s}$

可以将锁相环写成典型二阶系统的形式：

$GPLL(s)=GPI(s)s+UmGPI(s)=kp_PLL+ki_PLL/ss+Um⋅(kp_PLL+ki_PLL/s)=1Um⋅2ξPLLωn_PLLs+ωn_PLL2s2+2ξPLLωn_PLLs+ωn_PLL2 G_{PLL}(s)=\frac{G_{PI}(s)}{s + U_mG_{PI}(s)}=\frac{k_{p\_PLL}+k_{i\_PLL}/s}{s + U_m\cdot(k_{p\_PLL}+k_{i\_PLL}/s)}=\frac{1}{U_m}\cdot\frac{2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}s+\omega_{n\_PLL}^2}{s^2 + 2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}s+\omega_{n\_PLL}^2}$

其中， $ωn_PLL\omega_{n\_PLL}$ 和 $ξPLL\xi_{PLL}$ 分别是 $G_{PLL}(s)$ 改写成的典型二阶系统的自然频率和阻尼比，表达式为：

${ωn_PLL=Um⋅ki_PLLξPLL=kp_PLL2⋅Umki_PLL \begin{cases} \omega_{n\_PLL}=\sqrt{U_{m}\cdot k_{i\_PLL}}\\ \xi_{PLL}=\frac{k_{p\_PLL}}{2}\cdot\sqrt{\frac{U_{m}}{k_{i\_PLL}}} \end{cases}$

由于 $G_{PLL}(s)$ 直接与PCC电压的幅值和锁相环环路的特性相关，因此本文将 $G_{PLL}(s)$ 的带宽视作锁相环带宽。根据带宽的定义，带宽频率处的幅值增益应下降到比零频率处低3 dB，由此可以推得锁相环的带宽频率为：

$fbw=12π⋅ωn_PLL⋅1+2ξPLL2+2+4ξPLL2+4ξPLL4 f_{bw}=\frac{1}{2\pi}\cdot\omega_{n\_PLL}\cdot\sqrt{1 + 2\xi_{PLL}^2+\sqrt{2 + 4\xi_{PLL}^2+4\xi_{PLL}^4}}$

以下是锁相环带宽推导的详细过程：

对于典型二阶系统 $GPLL(s)=1Um⋅2ξPLLωn_PLLs+ωn_PLL2s2+2ξPLLωn_PLLs+ωn_PLL2G_{PLL}(s)=\frac{1}{U_m}\cdot\frac{2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}s+\omega_{n\_PLL}^2}{s^2 + 2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}s+\omega_{n\_PLL}^2}$ ，其频率响应 $GPLL(jω)G_{PLL}(j\omega)$ 为：

$GPLL(jω)=1Um⋅2ξPLLωn_PLL(jω)+ωn_PLL2(jω)2+2ξPLLωn_PLL(jω)+ωn_PLL2 G_{PLL}(j\omega)=\frac{1}{U_m}\cdot\frac{2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}(j\omega)+\omega_{n\_PLL}^2}{(j\omega)^2 + 2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}(j\omega)+\omega_{n\_PLL}^2}$

将 $j\omega$ 代入后化简可得：

$GPLL(jω)=1Um⋅ωn_PLL2+j2ξPLLωn_PLLω−ω2+j2ξPLLωn_PLLω+ωn_PLL2 G_{PLL}(j\omega)=\frac{1}{U_m}\cdot\frac{\omega_{n\_PLL}^2 + j2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}\omega}{-\omega^2 + j2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}\omega+\omega_{n\_PLL}^2}$

其幅值 $∣GPLL(jω)∣\vert G_{PLL}(j\omega)\vert$ 为：

$∣GPLL(jω)∣=1Um⋅(ωn_PLL2)2+(2ξPLLωn_PLLω)2(ωn_PLL2−ω2)2+(2ξPLLωn_PLLω)2 \vert G_{PLL}(j\omega)\vert=\frac{1}{U_m}\cdot\frac{\sqrt{(\omega_{n\_PLL}^2)^2+(2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}\omega)^2}}{\sqrt{(\omega_{n\_PLL}^2-\omega^2)^2+(2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}\omega)^2}}$

在零频率处 $ω=0\omega = 0$ ，此时 $∣GPLL(j0)∣=1Um\vert G_{PLL}(j0)\vert=\frac{1}{U_m}$ 。

根据带宽的定义，带宽频率处的幅值增益应下降到比零频率处低3dB，即 $∣GPLL(jωbw)∣=12⋅1Um\vert G_{PLL}(j\omega_{bw})\vert=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{U_m}$ 。

令 $ω=ωbw\omega=\omega_{bw}$ ，则有：

$1Um⋅(ωn_PLL2)2+(2ξPLLωn_PLLωbw)2(ωn_PLL2−ωbw2)2+(2ξPLLωn_PLLωbw)2=12⋅1Um \frac{1}{U_m}\cdot\frac{\sqrt{(\omega_{n\_PLL}^2)^2+(2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}\omega_{bw})^2}}{\sqrt{(\omega_{n\_PLL}^2-\omega_{bw}^2)^2+(2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}\omega_{bw})^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{U_m}$

等式两边同时消去 $1Um\frac{1}{U_m}$ 并平方可得：

$(ωn_PLL2)2+(2ξPLLωn_PLLωbw)2(ωn_PLL2−ωbw2)2+(2ξPLLωn_PLLωbw)2=12 \frac{(\omega_{n\_PLL}^2)^2+(2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}\omega_{bw})^2}{(\omega_{n\_PLL}^2-\omega_{bw}^2)^2+(2\xi_{PLL}\omega_{n\_PLL}\omega_{bw})^2}=\frac{1}{2}$

将上式进行整理和化简，令 $x=ωbwωn_PLLx = \frac{\omega_{bw}}{\omega_{n\_PLL}}$ ，则有：

$\begin{align*} \frac{1+(2\xi_{PLL}x)^2}{(1 - x^2)^2+(2\xi_{PLL}x)^2}&=\frac{1}{2}\\ 2\left[1+(2\xi_{PLL}x)^2\right]&=(1 - x^2)^2+(2\xi_{PLL}x)^2\\ 2 + 8\xi_{PLL}^2x^2&=1 - 2x^2+x^4+4\xi_{PLL}^2x^2\\ x^4 + (4\xi_{PLL}^2 +2)x^2 - 1&=0 \end{align*}$

这是一个关于 $x^2$ 的一元二次方程，根据求根公式可得：

$x^2=\frac{ (4\xi_{PLL}^2 +2)\pm\sqrt{ (4\xi_{PLL}^2 +2)^2 + 4}}{2}$

因为 $x=ωbwωn_PLLx=\frac{\omega_{bw}}{\omega_{n\_PLL}}$ ，且 $ωbw>0\omega_{bw}>0$ ，所以取正根：

$x^2=1 + 2\xi_{PLL}^2+\sqrt{2 + 4\xi_{PLL}^2+4\xi_{PLL}^4}$

又因为 $x=ωbwωn_PLLx=\frac{\omega_{bw}}{\omega_{n\_PLL}}$ ，所以 $ωbw=ωn_PLL⋅1+2ξPLL2+2+4ξPLL2+4ξPLL4\omega_{bw}=\omega_{n\_PLL}\cdot\sqrt{1 + 2\xi_{PLL}^2+\sqrt{2 + 4\xi_{PLL}^2+4\xi_{PLL}^4}}$ 。

由于 $fbw=ωbw2πf_{bw}=\frac{\omega_{bw}}{2\pi}$ ，最终可得：

$fbw=12π⋅ωn_PLL⋅1+2ξPLL2+2+4ξPLL2+4ξPLL4 f_{bw}=\frac{1}{2\pi}\cdot\omega_{n\_PLL}\cdot\sqrt{1 + 2\xi_{PLL}^2+\sqrt{2 + 4\xi_{PLL}^2+4\xi_{PLL}^4}}$

5. 计算 PI 控制器参数

将 $ξPLL=0.707\xi_{PLL} = 0.707$ 代入公式后，带入的具体表达式如下：

$fbw=12π⋅ωn_PLL⋅1+2(0.707)2+2+4(0.707)2+4(0.707)4 f_{bw} = \frac{1}{2\pi} \cdot \omega_{n\_PLL} \cdot \sqrt{1 + 2(0.707)^2 + \sqrt{2 + 4(0.707)^2 + 4(0.707)^4}}$

$fbw=12π⋅ωn_PLL⋅1.999698+4.998997 f_{bw} = \frac{1}{2\pi} \cdot \omega_{n\_PLL} \cdot \sqrt{1.999698 + \sqrt{4.998997}}$

最终代入数值得：

$fbw≈2.052πωn_PLL Hz f_{bw} \approx \frac{2.05}{2\pi} \omega_{n\_PLL} \, \text{Hz} \quad$

当电压Um=1时，可得：

积分增益：

$K_{\mathrm{PLLi}} = \omega_n^2 = (1256.64)^2 \approx 1.58 \times 10^6$
比例增益：

$K_{\mathrm{PLLp}} = 2 \zeta \omega_n = 2 \times 0.707 \times 1256.64 \approx 1776.96$

6. 更新代码

将计算得到的参数替换到你的代码中：

clc
KPLLp = 1776.96; % 更新后的比例增益
KPLLi = 1.58e6;  % 更新后的积分增益

% 频率向量
fvec = logspace(0, 4, 10000);
GPLLB = zeros(1, length(fvec)); % 预分配空间

for k = 1:length(fvec)
    fre1 = fvec(k);
    s = 1i * 2 * pi * fre1; % 复频率
    GPLLK = (KPLLp * s + KPLLi) / s^2; % 开环传递函数
    GPLLB(k) = GPLLK / (1 + GPLLK);    % 闭环传递函数
end

% 绘制幅值和相位图（保持原有代码）
subplot(2, 1, 1);
semilogx(fvec, 20 * log10(abs(GPLLB)), 'k', 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude (dB)');

subplot(2, 1, 2);
semilogx(fvec, angle(GPLLB) * 180 / pi, 'k', 'LineWidth', 1.5);
grid on;
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Phase (degrees)');

7. 验证带宽

运行代码并观察幅频响应图，确认在 200 Hz 处幅值下降了 3 dB，确保设计满足要求。

8. 调整阻尼比（可选）

如果对系统的超调量或响应速度有特定要求，可以调整阻尼比 $ζ\zeta$ 并重新计算 $KPLLpK_{\mathrm{PLLp}}$ ：

增加 $ζ\zeta$ 会提高系统的阻尼，减少超调，但可能降低响应速度。
减小 $ζ\zeta$ 会降低系统的阻尼，增加超调，但可能提高响应速度。

结论

通过上述步骤，我们使用正确的 PLL 开环和闭环传递函数，重新计算了 PI 控制器的参数，使得锁相环的带宽调整为 200 Hz。请根据实际需求，运行代码并进行进一步的验证和调整。

完整代码

% 目标带宽
f_BW_target = 200;  % Hz
% 阻尼比
zeta = 0.707;
% 频率范围
frequencies = logspace(0, 4, 1000);  % 从 10 Hz 到 100 kHz
% 初始化变量
omega_n_guess = 2*pi*f_BW_target;  % 初始猜测
tolerance = 1e-6;  % 容差
error = 1;
max_iter = 100;
iter = 0;
while error > tolerance && iter < max_iter
    iter = iter + 1;
    % 计算 KPLLp 和 KPLLi
    KPLLp = 2*zeta*omega_n_guess;
    KPLLi = omega_n_guess^2;
    % 定义频率向量
    fvec = frequencies;
    % 计算闭环传递函数在每个频率下的值
    GPLLB = zeros(1, length(fvec));
    for k = 1:length(fvec)
        fre1 = fvec(k);
        s = 1i*2*pi*fre1; % 复频率
        GPLLB(k) = (KPLLp*s + KPLLi) / (s^2 + KPLLp*s + KPLLi);
    end
    % 计算幅度（以 dB 为单位）和相位（以度为单位）
    mag_db = 20 * log10(abs(GPLLB));
    phase_deg = angle(GPLLB) * 180 / pi;
    % 找到幅值下降 -3 dB 的频率
    [~, idx] = min(abs(mag_db + 3));
    f_BW_actual = frequencies(idx);
    % 计算误差
    error = abs(f_BW_actual - f_BW_target) / f_BW_target;
    % 调整 omega_n_guess
    omega_n_guess = omega_n_guess * (f_BW_target / f_BW_actual);
end
if iter >= max_iter
    warning('迭代未能在最大次数内收敛。');
end
fprintf('计算得到的参数：\n');
fprintf('KPLLp = %f\n', KPLLp);
fprintf('KPLLi = %f\n', KPLLi);
fprintf('实际带宽 = %f Hz\n', f_BW_actual);
% 获取目标带宽和实际带宽处的幅值和相位
% 在频率数组中找到最接近目标带宽和实际带宽的索引
[~, idx_target] = min(abs(frequencies - f_BW_target));
[~, idx_actual] = min(abs(frequencies - f_BW_actual));
% 对应的幅值和相位
mag_target = mag_db(idx_target);
phase_target = phase_deg(idx_target);
mag_actual = mag_db(idx_actual);
phase_actual = phase_deg(idx_actual);
% 绘制幅频响应和相频响应
figure;
% 绘制幅频响应
subplot(2,1,1);
semilogx(frequencies, mag_db, 'b');
title('传递函数的幅频响应');
xlabel('频率 [Hz]');
ylabel('幅值 [dB]');
grid on;
hold on;
% 在目标带宽和实际带宽处添加标记点
plot(f_BW_target, mag_target, 'ro', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', ['目标带宽 = ' num2str(f_BW_target) ' Hz']);
plot(f_BW_actual, mag_actual, 'gs', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', ['实际带宽 = ' num2str(f_BW_actual, '%.2f') ' Hz']);
% 添加 -3 dB 水平线
yline(-3, 'k--', '-3 dB 点', 'LineWidth', 1);
legend('幅频响应', '目标带宽', '实际带宽', '-3 dB 点');
hold off;
% 绘制相频响应
subplot(2,1,2);
semilogx(frequencies, phase_deg, 'b');
title('传递函数的相频响应');
xlabel('频率 [Hz]');
ylabel('相位 [度]');
grid on;
hold on;
% 在目标带宽和实际带宽处添加标记点
plot(f_BW_target, phase_target, 'ro', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', ['目标带宽 = ' num2str(f_BW_target) ' Hz']);
plot(f_BW_actual, phase_actual, 'gs', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', ['实际带宽 = ' num2str(f_BW_actual, '%.2f') ' Hz']);
legend('相频响应', '目标带宽', '实际带宽');
hold off;

5 条评论

TOPS0954 2025.07.22
对于二阶系统，当阻尼比 ζ=0.707\zeta = 0.707ζ=0.707 时，带宽 BWBWBW 与自然频率的关系近似为： BW≈ωn BW \approx \omega_n BW≈ω n 因此： ωn=2π×BW=2π×200 rad/s=1256.64 rad/s \omega_n = 2\pi \times BW = 2\pi \times 200\ \text{rad/s} = 1256.64\ \text{rad/s} ω n =2π×BW=2π×200 rad/s=1256.64 rad/s ———————————————— 上面写的是嘛玩意儿？前言不搭后语