高等数学 · 第四章 微分中值定理与导数的应用

第一节 微分中值定理

一、费马定理

定理4.1 （费马定理）

若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并且在 $x_0$ 的某邻域内恒有 $f(x)\le f(x_0)$ 或 $f(x)\ge f(x_0)$ 则 $f^{\prime }(x_0)=0$.
证明：不妨设在 $x_0$ 的某邻域内恒有 $f(x)\le f(x_0)$，故 $\forall x_0+\Delta x\in U(x_0),f(x_0+\Delta x)\le f(x_0)$，则 $f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=$$\{\begin{array}{l}{f}_{-}^{\prime }(x_0)\ge 0(\Delta x\to 0^{-})\\ f_{+}^{\prime }(x_0)\le 0(\Delta x\to 0^{+})\end{array}$$\to f^{\prime }(x_0)=0$

费马定理的几何意义

如果 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某领域内的最大值或最小值，并且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处有切线，则切线一定是水平的。

补充：极值的定义

如果 $f(x_0)$ 在 $I$ 的某领域内恒有 $f(x)\le f(x_0)$ 或 $f(x)\ge f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的一个极大值或极小值，而称 $x_0$ 为极大值点或者极小值点。极大值与极小值统称为 极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
如果 $f^{\prime }(x_0)=0$， 则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一个驻点。
因此，费马定理又可表述为：可导的极值点一定是驻点。

二、罗尔定理

定理4.2 罗尔(Rolle)定理

$y=f(x)$ 满足：

1. 在区间 $[a,b]$ 上连续
2. 在区间 $(a,b)$ 内可导
3. $f(a)=f(b)$

$\to$ 在 $(a,b)$ 内至少存在一点使 $f^{\prime }(\xi )=0$
证明：因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，故在 $[a,b]$ 上取得最大值 $M$ 和最小值 $m$.
若 $M=m$，则 $f(x)=M,x\in [a,b]$, 因此 $\forall \xi \in (a,b)，f^{\prime }(\xi )=0$.
若 $M>m$, 则 $M$ 和 $m$ 中至少有一个与端点值不等，不妨设 $M\ne f(a)$，则至少存在一个 $\xi \in (a,b)$， 使 $f(\xi )=M$, 则由费马定理得 $f^{\prime }(\xi )=0$.

证明题

已知 $f(x)=x\sqrt{3-x}$，求证： 方程 $f^{\prime }(x)=0$ 在 $(0,3)$ 内至少一根。
解： ∵ f ( x ) \because f(x)